6. Методические указания и пояснения по ходу выполнения работы

1. В соответствии с экономико-математической моделью необходимо сформулировать целевую функцию согласно одной из формул 1.1-1.3, принимая во внимание, что основными неизвестными являются планируемые объёмы производства по всем видам продукции на допустимых типах оборудования (производственных линиях, установках) - , а коэффициентами при них – величина (числовое измерение) цены, затрат или прибыли, приходящихся на единицу продукции.

Свободным членом целевой функции могут являться постоянные расходы, относимые на производство продукции в рамках цеха, для которого рассчитываются результаты деятельности.

Так, целевая функция максимизации прибыли согласно формуле (1.3) может принять в связи с этим следующий вид:

(1.8)

где:

- постоянные расходы, относимые на производство продукции товарного цеха;

- маржинальный доход на единицу продукции i-го вида, выпускаемой на оборудовании (установке) j-го типа.

2. Постоянные расходы, относимые на производство продукции товарного цеха, включают в себя постоянные расходы:

- по каждой из технологических линий (установок) ();

- по лакокрасочному цеху в целом ();

- общехозяйственные на уровне завода () и коммерческие расходы (), относимые на продукцию данного цеха.

Размер этих расходов рассчитывается в зависимости от задания на основе данных таблиц 1.3 и 1.4 (для групп 1506-1507 и таблиц 1.7 и 1.8 (для групп 1507-1508).

Таким образом, суммарная величина постоянных расходов () определяется следующим соотношением:

(1.9)

3. Аналогичным образом необходимо, располагая имеющимися исходными данными (соответственно таблицы 1.2-1.4 или 1.6-1.8 в зависимости от задания) сформулировать целевые функции:

• минимизации суммарных затрат на производство и реализацию планируемой к производству продукции по формуле 1.1;

• максимизации выручки от реализации планируемой продукции по формуле 1.2.

4. Принимая во внимание исходные данные (таблица 1.3 или 1.7 в зависимости от задания), определить количество основных (базисных) неизвестных (Х_ij) и дать им соответствующие обозначения.

Так, например, по заданию для групп 1506-1507 количество планируемой к производству краски марки А на линии №3 будет иметь обозначение - Х_А3, а лака марки АА на линии №4 – Х_АА4.

Соответственно по заданию для групп 1507-1508 количество планируемого к производству бензина марки В на установке №2 будет иметь обозначение - Х_В2, а ароматической продукции марки АБ в резервуаре-стабилизаторе №5 – Х_АБ5.

Максимальное количество базисных неизвестных будет равно возможному сочетанию видов продукции и взаимозаменяемого оборудования (производственных линий, технологических установок).

Для условий настоящей работы по заданию для групп 1506-1507 количество искомых неизвестных будет равно – 27, в том числе:

- для красок - 7*3 = 21 неизвестное;

- для лаков - 3*2 = 6 неизвестных.

Соответственно по заданию для групп 1507-1508 количество искомых неизвестных будет равно – 27, в том числе:

- для бензинов – 5*3 = 15 неизвестных

- для ароматических углеводородов – 4*2 = 8 неизвестных.

4. На основе данных таблицы 1.3 (или 1.7) рассчитать условные затраты времени на выпуск единицы каждого вида продукции на каждой из доступных производственных линий (), исходя из следующего соотношения:

(1.10)

где:

- продолжительность цикла производства продукции i-го вида, выпускаемой на оборудовании (линии, установке) j-го типа;

- выход продукции i-го вида, выпускаемой на оборудовании j-го типа, за один цикл.

Все необходимые расчеты следует вести в рабочей среде табличного редактора Microsoft Excel, а полученные результаты необходимо свести в специальную таблицу для дальнейшего использования в рамках настоящей работы.

4. Для каждой производственной линии (установки) составить основные ограничения, связанные с использованием планируемого эффективного фонда времени, выраженные соотношением в формуле (1.5). При этом, в первую очередь, необходимо пересчитать эффективный фонд времени, представленный в днях (), в часы (), руководствуясь данными о режиме работы цеха:

(1.11),

где:

- продолжительность работы в сутки, в часах.

Так, например, по заданию для групп 1505-1506 для производственной линии №1 варианта №1 ограничение будет выглядеть следующим образом:

В связи с тем, что на линии №1 никакие марки лаков не планируются к производству, в приведенном ограничении (неравенстве) отсутствуют неизвестные Х_АА1, Х_АБ1 и Х_АВ1, что означает для них значение коэффициента () равным 0.

Действуя аналогичным образом, составить ограничения для каждой из последующих производственных линий (установок, резервуаров). Общее количество ограничений данного типа для всех вариантов будет равным количеству задействованных линий (технологических установок, резервуаров):

- по заданию для групп 1505-1506 – 4;

- по заданию для групп 1507-1508 – 5.

4. Согласно исходным данным по вариантам (соответственно таблица 1.2 или таблица 1.6) необходимо распределить продукцию по характеру зависимости от рынка спроса.

Так, например, для варианта №1 задания для групп 1505-1506:

• к продукции l-го типа, имеющей спрос в означенных пределах, относятся 3 вида продукции: краски марки А и Е, а также лак марки АА;

• к продукции k-го типа, имеющей строго фиксированный заказ, относятся 4 вида продукции: краски марок Б, Г, Д и лак марки АВ;

• к продукции r-го типа, не имеющей ограничений в сфере распределения, относятся 3 вида продукции: краски марок В, Ж и лак марки АБ.

Для варианта №5 задания для групп 1507-1508:

• к продукции l-го типа, имеющей спрос в означенных пределах, относятся 4 вида продукции: бензины марки А и Г, а также ароматические углеводороды марки АБ и АГ;

• к продукции k-го типа, имеющей строго фиксированный заказ, относятся 4 вида продукции: бензины марки Б и Д, и ароматические углеводороды марки АА и АВ;

• к продукции r-го типа, не имеющей ограничений в сфере распределения, относится один вид продукции: бензин марки В.

4. Результаты распределения продукции дают возможность применить к продукции соответствующего типа дополнительные ограничения по формулам (1.7а, 1.7б и 1.7в).

Так, например, для варианта №1 задания для групп 1505-1506:

- для красок марок А и Е и лака марки АА, относимых к продукции l-го типа, ограничения (1.7б) будут следующими:

- для краски марки Б, относимой к продукции k-го типа (всего – 4 вида продукции), ограничение (1.7а) будет выглядеть следующим образом:

- для красок и лаков, относящихся к продукции r-го типа (их всего – 3), не имеющей ограниченного спроса, применяется ограничение (1.7в). Так, для лака марки АБ ограничение принимает следующее выражение:

То же самое применительно для варианта №5 задания для групп 1507-1508 будет выглядеть следующим образом:

• для продукции l-го типа (всего – 4), ограничение (1.7б) применительно к бензину марки А и ароматическим углеводородам марки АБ будет следующим:

- для продукции k-го типа (всего – 4 вида продукции), ограничение (1.7а) применительно к бензину марки Б и ароматическим углеводородам марки АВ будет следующим:

- для продукции r-го типа (всего – один вид продукции), ограничение (1.7в) применительно к бензину марки В принимает следующее выражение:

4. Сформулированные основные и дополнительные ограничения сводятся в единую систему ограничений, на основании которой формируется матрица исходных данных для решения задачи с помощью программного продукта на ПК.

Для всех вариантов задания для групп 1505-1506 общее количество ограничений будет равно 14 (4 основных и 10 дополнительных), а для групп 1507-1508 общее количество ограничений будет равно 14 (5 основных и 9 дополнительных),

Пример составления исходной матрицы ограничений представлен в таблице 1.9.

4. Для решения задачи необходимо преобразовать ограничения в виде неравенств (типа меньше, чем свободный член) в равенства путем ввода дополнительных неизвестных. Это касается ограничений (1.5) и (1.7б).

Так, для варианта №1 задания для групп 1505-1506 общее количество дополнительных неизвестных составит – 7, в том числе:

• для 4 основных ограничений (1.5);

• для 3 дополнительных ограничений (1.7б).

Для варианта №5 задания для групп 1507-1508 общее количество дополнительных неизвестных составит – 9, в том числе:

• для 5 основных ограничений (1.5);

• для 4 дополнительных ограничений (1.7б).

4. При введении дополнительных неизвестных необходимо дать описание их экономического содержания (какую смысловую нагрузку они выполняют, преобразуя неравенство в равенство?).

Таблица 1.9.

Пример заполнения матрицы ограничений для решения задачи симплекс-методом (вариант №1 задания для групп 1505-1506

№ вида ограничения для j-го оборудования или i-ой продукции	Обозначение основных (базисных) неизвестных
	ХА1	ХА2	ХА3	ХБ1	ХБ2	ХБ3	ХВ1	ХВ2	ХВ3	ХГ1	ХГ2	ХГ3	ХД1	ХД2
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	Значения коэффициентов при неизвестных (в ограничениях вида (5) приняты произвольно)
(5) линия 1	60			45			55			78			65
(5) линия 2		58			67			78			70			59
(5) линия 3			65			67			66			67
(5) линия 4
(7б) марка А	1	1	1
(7б) марка Е
(7б) марка АА
(7а) марка Б				1	1	1
(7а) марка Г										1	1	1
(7а) марка Д													1	1
(7а) марка АВ
(7в) марка В							1	1	1
(7в) марка Ж
(7в) марка АБ

Продолжение таблицы 1.9

№вида ограничения для j-го оборудования или i-ой продукции	Обозначение основных (базисных) неизвестных													Свободный член уравнения
	ХД3	ХЕ1	ХЕ2	ХЕ3	ХЖ1	ХЖ2	ХЖ3	ХАА3	ХАА4	ХАБ3	ХАБ4	ХАВ3	ХАВ4
	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
	Значения коэффициентов при неизвестных (в ограничениях (5) приняты произвольно)
(5) линия 1		56			60									6240
(5) линия 2			54			65								6144
(5) линия 3	59			67			65	56		45		55		6048
(5) линия 4									55		56		57	6720
(7б) марка А														10
(7б) марка Е		1	1	1										35
(7б) марка АА								1	1					50
(7а) марка Б														50
(7а) марка Г														40
(7а) марка Д	1													5
(7а) марка АВ												1	1	15
(7в) марка В														0
(7в) марка Ж					1	1	1							0
(7в) марка АБ										1	1			0

Окончание таблицы 1.9

№вида ограничения для j-го оборудования или i-ой продукции	Обозначение дополнительных неизвестных
	Y1	Y2	Y3	Y4	YA	YЕ	YAА
	28	29	30	31	32	33	34
	Значения коэффициентов при неизвестных
(5) линия 1	1
(5) линия 2		1
(5) линия 3			1
(5) линия 4				1
(7б) марка А					1
(7б) марка Е						1
(7б) марка АА							1
(7а) марка Б
(7а) марка Г
(7а) марка Д
(7а) марка АВ
(7в) марка В
(7в) марка Ж
(7в) марка АБ

4. Перед началом решения задачи на персональном компьютере (ПК) с использованием программного продукта необходимо сформатировать ее размер. Для этого необходимо определить итоговое количество неизвестных (основных и дополнительных) и суммарное количество ограничений.

Так, для варианта №1 задания для групп 1505-1506 будет иметь место 14 ограничений, из которых 10 в виде равенств, и 34 неизвестных (27 базисных и 7 дополнительных) согласно составленной матрице (таблица 1.9).

Для варианта №5 задания для групп 1507-1508 будет иметь место 14 ограничений (13 в виде равенств) и 32 неизвестных (23 базисных и 9 дополнительных).

4. Далее задача последовательно решается с использованием программного продукта, три раза согласно трем разным целевым функциям по формулам (1.8), (1.1)и (1.2), следуя инструкциям разработчика. Формулы должны быть заранее приведены к имеющимся исходным или рассчитанным данным согласно заданному варианту работы.

5. В результате решения каждой из трех задач должен быть получен для каждой из них оптимальный план производственной программы и оптимальное значение целевой функции F(X).

В случае получения ответа об отсутствии оптимального плана, что свидетельствует о некорректности введенных расчетных данных, следует провести проверку расчетных данных и повторить их ввод для повторного решения задачи с использованием программного продукта.

Правильность решения каждой задачи следует проверить путем подстановки полученных значений неизвестных в исходные уравнения (ограничения). При этом также следует провести проверку на выполнение условий задачи по планируемому объему производства по ассортиментным позициям (таблица 1.2 или 1.6 в зависимости от задания для различных групп студентов).

Если все исходные условия задачи выполнены, но при этом имеет место значение дополнительного неизвестного больше 0, то дайте пояснения этому факту. Как следует расценивать такой результат? Что можно предложить в дополнение к полученным результатам?

4. Зафиксировать в отчете полученные результаты (значение целевой функции и параметры оптимальных планов) по трем выполненным задачам, провести их сравнение и обосновать наилучший план. Для более качественного сопоставления результатов трех вариантов следует провести сравнение по следующим основным показателям:

• выручке от реализации продукции;

• объему реализации продукции;

• себестоимости произведенной продукции;

• прибыли от реализации продукции.

Это сравнение представить в аналитической таблице 1.10 (пример показан для задания для групп 1505-1506).

4. Показатели оптимального плана сводятся в итоговую таблицу 1.11 (пример показан для задания для групп 1505-1506), в которой представлены основные параметры оптимальной производственной программы по каждому виду продукции и всем производственным линиям (установкам).

5. Одновременно, заполняя таблицу, проводится итоговая (шахматная) проверка полученных результатов. Итоговая сумма каждого из представленных в таблице показателей должна совпадать с суммами, как по вертикали, так и по горизонтали. В завершении работы делаются окончательные выводы на основе полученных результатов.

6. Отчет о выполненной работе оформляется в соответствии с данными методическими указаниями и требованиями, предъявляемыми к оформлению работ.

Таблица 1.10

Сопоставление результатов планирования по разным критериям оптимизации

Наименование продукции

Объем реализации, тонн

Выручка от реализации, т. руб.

Себестоимость продукции, т. руб.

Прибыль от реализации, т. руб.

Критерии оптимизации

I

II

III

I

II

III

I

II

III

I

II

III

Краска марки А

Краска марки Б

Краска марки В

Краска марки Г

Краска марки Д

Краска марки Е

Краска марки Ж

Лак марки АА

Лак марки АБ

Лак марки АВ

Итого

Примечание:

Критерии оптимизации плана производства обозначены как:

I – максимальная прибыль (целевая функция 1.8)

II – максимальная выручка (целевая функция 1.2)

III – минимальные затраты (себестоимость) (целевая функция 1.1)

Таблица 1.11

Показатели оптимального плана производственной программы лакокрасочного цеха

Наименование продукции	Объем производимой продукции по производственным линиям, тонн					Выручка от реализации продукции по производственным линиям, тыс. руб.
	№1	№2	№3	№4	Всего	№1	№2	№3	№4	Всего
Краска марки А
Краска марки Б
Краска марки В
Краска марки Г
Краска марки Д
Краска марки Е
Краска марки Ж
Лак марки АА
Лак марки АБ
Лак марки АВ
Итого