А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ - Основы квантовой механики(розовая)
.pdf
22
частная производная волновой функции в любой точке пространства r в момент времени t определяется значениями волновой функции Ψ(r , t) в тот же момент времени. Символически сказанное выше записывается в виде уравнения
∂Ψ(r, t) |
= F {r, t; Ψ} , |
(3.2) |
∂t |
где F — некоторая величина, зависящая явно от r, t (явная зависимость от t возникает тогда, когда внешнее поле является переменным) и от значений волновой функции во всем пространстве1. Фактически (3.2) и будет основным уравнением квантовой динамики частицы, если найти выражение для F. Заметим, что одно важное свойство правой части уравнения (3.2) можно заранее предсказать, если вспомнить принцип суперпозиции квантовых состояний. Согласно этому принципу, произвольная линейная комбинация двух решений Ψ1 и Ψ2 уравнения (3.2) тоже должно быть решением этого уравнения. Поэтому правая часть уравнения (3.2) должна быть линейна относительно волновой функции.
3.2.Уравнение Шредингера для одной частицы
Правильное выражение для правой части уравнения (3.2) удалось найти Э. Шредингеру, который тем самым построил волновую механику. В развернутой
форме |
уравнение Шредингера для волновой функции частицы массы m |
||||||||||||
записывается так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
∂Ψ(r, t) |
= − |
2 |
|
∂2Ψ(r, t) |
+ |
∂2Ψ(r, t) |
+ |
∂2Ψ(r, t) |
+ U (r, t) Ψ(r, t), |
(3.3) |
||
∂t |
2m |
∂x2 |
|
∂y2 |
|
∂z2 |
|||||||
где U (r, t) — потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Отметим, что уравнение Шредингера имеет вид (3.2), т. е. согласуется с квантовым принципом причинности, и является линейным уравнением относительно волновой функции. Уравнение Шредингера принято записывать в кратком символическом виде
i |
∂Ψ |
ˆ |
(3.4) |
|
∂t |
|
= H(t)Ψ , |
||
|
|
|
|
|
где введен оператор Гамильтона или гамильтониан
ˆ |
2 |
|
2 |
|
(3.5) |
H(t) = − |
2m |
|
|
+ U (r, t). |
В математике дифференциальный оператор
2 = |
∂2 |
∂2 |
∂2 |
(3.6) |
||
|
+ |
|
+ |
|
||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||
1В математике величины, подобные F, которые зависят сразу от всех значений функции, называют функционалами.
23
называется оператором Лапласа1. Его можно формально представить как скаляр-
ное произведение , где
·
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
(3.7) |
= ex |
|
+ ey |
|
+ ez |
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
— векторный оператор “набла”, ex, ey, ez — орты декартовой системы координат.
Уравнение Шредингера, записанное в форме (3.4), справедливо для произвольной квантовой системы, но явное выражение для гамильтониана определяется свойствами системы. Даже для одной частицы, как мы увидим позже, гамильтониан не всегда имеет вид (3.5), так как воздействие на частицу не всегда удается описать потенциальной энергией2.
Уравнение Шредингера в квантовой механике постулируется, как в классической механике постулируются законы Ньютона. Отметим, однако, что уравнение Шредингера (3.3) само по себе является приближением. В частности, оно не учитывает релятивистские эффекты. В релятивистской квантовой механике уравнение Шредингера выводится как приближенное уравнение, справедливое в случаях, когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света.
Сделаем несколько замечаний об уравнении Шредингера с математической точки зрения. Прежде всего заметим, что в общем случае решениями этого уравнения являются функции Ψ(r, t), принимающие комплексные значения. Впрочем, на стр. 15 уже отмечалось, что сама волновая функция не является наблюдаемой величиной, которую можно непосредственно измерить приборами. Поэтому ни к каким “парадоксам” использование комплексных решений уравнения Шредингера не приводит. В принципе, можно вообще обойтись без комплексных функций, так как вместо Ψ можно использовать две действительные функции Ψ и Ψ , которые определяются соотношением
Ψ(r, t) = Ψ (r, t) + iΨ (r, t). |
(3.8) |
Из уравнения (3.4) легко получить систему уравнений для Ψ и Ψ (см. упражнение 3.2.).
Далее, уравнение Шредингера содержит первую производную волновой функции по времени и вторые производные по координатам. Для того, чтобы существовали эти производные, необходимо потребовать, чтобы Ψ(x, y, z, t) была непрерывной функцией времени и координат и, кроме того, чтобы ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z были непрерывными функциями координат. Очевидно также, что Ψ должна быть всюду конечной и однозначной функцией. Перечисленные требования к волновой функции особенно важно учитывать при построении приближенных решений уравнения Шредингера.
3.3.Стационарные квантовые состояния
Рассмотрим теперь частный, но важный случай, когда частица находится в стационарном внешнем поле U (r ), не зависящем от времени. Ясно, что тогда гамильтониан частицы (3.5) также не зависит явно от времени. Покажем, что в
1Для оператора Лапласа используется также обозначение ∆.
2Важный пример такого рода — движение заряженной частицы в магнитном поле.
24
этом случае уравнение Шредингера (3.4) имеет решения с разделяющимися переменными:
Ψ(r, t) = ψ(r ) A(t). |
(3.9) |
||||||
Подставляя эту функцию в (3.4), получаем |
|
||||||
i |
dA(t) |
|
|
ˆ |
|
||
|
|
||||||
|
|
dt |
|
Hψ(r ) |
(3.10) |
||
|
|
= |
|
. |
|||
|
A(t) |
ψ(r ) |
|||||
Поскольку выражение в левой части есть функция времени, а выражение в правой части — функция координат, равенство может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны одной и той же постоянной величине. Обозначим эту величину E. Таким образом, мы приходим к двум уравнениям
i dA(t) = EA(t), dt
ˆ
Hψ(r ) = Eψ(r ).
Решение уравнения (3.11) легко находится:
A(t) = exp − i Et .
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Вообще говоря, перед экспонентой следует поставить произвольный постоянный множитель, так как уравнение (3.11) однородное и линейное, однако этот множитель можно отнести к функции ψ(r), которая сама определяется из уравнения (3.12) с точностью до произвольного постоянного множителя. Итак, мы показали, что в случае, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, уравнение Шредингера имеет решения вида
|
ΨE (r, t) = ψE (r ) exp − |
i |
|
||||
|
|
Et , |
(3.14) |
||||
|
|
||||||
где ψE (r ) удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
(r ) . |
|
(3.15) |
||
|
|
HψE (r ) = E ψE |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы снабдили функции ΨE и ψE индексами, чтобы подчеркнуть, что их вид зависит от значения постоянной E.
Волновые функции (3.14) обладают важным свойством
|ΨE (r, t)|2 = |ψE (r )|2. |
(3.16) |
Отметим, что хотя сама волновая функция (3.14) зависит от времени, квадрат ее модуля, т. е. плотность вероятности, от времени не зависит. Иначе говоря, вероятность регистрации частицы в любом объеме не изменяется со временем. По этой причине квантовые состояния, которые описываются волновыми функциями
25
вида (3.14), называются стационарными состояниями. Уравнение (3.15) для координатной части волновой функции стационарного состояния обычно называют стационарным уравнением Шредингера. Используя выражение (3.5) для гамильтониана, стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде
2ψE + |
2m |
(E − U ) ψE = 0 , |
(3.17) |
2 |
где U = U (r ). Такая запись наиболее удобна, если нужно явно решать уравнение. В дальнейшем мы будем часто интересоваться стационарными состояниями частицы в заданном внешнем поле U (r ). Дело в том, что стационарные состояния — это состояния, в которых частица имеет определенную энергию. Постоянная E в уравнении (3.15) и в волновой функции (3.14) — энергия стационарного состояния.
Доказательство этого утверждения мы дадим позже.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что даже в случае стационарного внешнего поля U (r ) уравнение Шредингера имеет не только решения, описывающие стационарные состояния. Приведем простой пример. Предположим, что ΨE1 (r, t) и ΨE2 (r, t) — волновые функции двух стационарных состояний с различными значениями энергии E. Поскольку уравнение Шредингера линейное, то функция
Ψ(r, t) = a1ΨE1 (r, t) + a2ΨE2 (r, t) |
(3.18) |
с произвольными комплексными коэффициентами a1 и a2 также является решением уравнения Шредингера. Ясно, что состояние, описываемое волновой функцией (3.18), не является стационарным.
3.4.Динамические переменные в квантовой механике
Итак, если волновая функция Ψ(r, t) известна, то можно предсказать вероятности регистрации частицы в момент времени t в различных малых объемах dV [см. формулу (2.24)]. Однако это — еще не вся информация о частице, которая может представлять физический интерес. Вернемся к классической механике, где состояние движения частицы описывается зависимостью радиуса-вектора от времени, т. е. законом движения r = r (t). Кроме закона движения, важную роль играли так называемые динамические переменные: импульс частицы p, кинетическая энергия T , потенциальная энергия частицы U , механическая энергия E,
момент импульса и т. д. В классической механике все динамические переменные
L
легко вычисляются, если известен закон движения. Напомним соответствующие формулы:
|
dr |
|
|
p2 |
|
× p. |
(3.19) |
|
p = mv = m |
dt |
, |
T = |
2m |
, |
E = T + U (r), L = r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и далее символом A × B обозначается векторное произведение векторов.
Возникает естественный вопрос: как описываются динамические переменные в квантовой механике? Или: можно ли, зная волновую функцию, предсказать результаты измерения любой динамической переменной (скажем, энергии частицы или ее импульса)? Приведем пример, показывающий, что вопрос о динамических переменных в квантовой механике не так прост, как в классической механике.
26
Предположим, что в состоянии Ψ1 измерение динамической переменной A всегда дает значение A1, а в состоянии Ψ2 — значение A2. Согласно принципу суперпозиции квантовых состояний, частица может в данных условиях находиться и в состоянии с волновой функцией
Ψ = a1 Ψ1 + a2 Ψ2, |
(3.20) |
где a1 и a2 — некоторые комплексные числа. Какое значение получится при измерении динамической переменной A в состоянии (3.20)? Ясно, что оно не будет всегда равно A1 или A2 , так как Ψ — “смесь” двух состояний. Вопрос о том, как связано измеряемое значение динамической переменной в суперпозиции двух и более состояний, невозможно решить чисто логическим путем. Приходится, опираясь на эксперименты, постулировать это правило. Постулат о результатах измерения динамических переменных в квантовой механике гласит:
•Если измерение некоторой величины A в состоянии Ψ1 всегда дает результат A1, в состоянии Ψ2 — результат A2 и т. д., то суперпозиция
Ψ = ai Ψi (3.21)
i
описывает состояние, в котором многократные измерения той же величины будут давать либо A1, либо A2 и т. д. с некоторыми вероятностями, зависящими от значений коэффициентов ai.
Итак, в общем случае результаты измерения физических величин (динамических переменных) в квантовой механике нельзя однозначно предсказать, даже если мы знаем, в каком состоянии находится частица.
3.5.Средние значения динамических переменных. Операторы
Если при измерении одной и той же физической величины в некотором квантовом состоянии получаются различные случайные значения, то в качестве объективной характеристики физической величины в данном состоянии естественно взять ее среднее значение по большому числу измерений1. Таким образом, нам требуется правило вычисления средних значений физических величин в состоянии, которое описывается произвольной волновой функцией Ψ(r, t).
Предположим сначала, что интересующая нас динамическая переменная A зависит лишь от координат частицы. Примерами являются сами координаты частицы x, y, z, потенциальная энергия частицы U (r ) во внешнем поле, сила
|
|
(3.22) |
F |
(r ) = −U (r ), |
действующая на частицу. Для таких динамических переменных легко сформулировать правило вычисления средних значений. Обозначая через A(r ) = A(x, y, z) значение динамической переменной в точке пространства c радиус-вектором r и
1В теории вероятностей среднее значение называется также “математическим ожиданием”.
27
вспоминая выражение (2.24) для вероятности обнаружить частицу в малом объеме вблизи этой точки, для среднего значения A t динамической переменной в момент времени t получаем формулу, очевидную для читателя, знакомого с элементарной теорией вероятностей:
A t = A(r ) dw(r, t) ≡ |
A(r ) |Ψ(r, t)|2 dV . |
(3.23) |
V |
V |
|
Интегрирование ведется по всему объему V , где может быть обнаружена частица.
Простейшая динамическая переменная, которая не является функцией координат, — импульс частицы. К сожалению, теперь мы не можем применить формулу (3.23). Чтобы правило вычисления среднего значения импульса частицы (которое фактически постулируется в квантовой механике) не показалось читателю слишком абстрактным, приведем некоторые наводящие соображения. Вспомним, что нам уже известна волновая функция состояния, в котором импульс частицы имеет определенное значение, — это волновая функция свободной частицы (2.26). В данном случае p t = p. Учитывая условие нормировки (2.25), запишем проекцию импульса на ось x виде интеграла, похожего на (3.23):
px t = px |Ψ(r, t)|2 dV = Ψ (r, t) pxΨ(r, t) dV .
V V
Заметим теперь, что для волновой функции |
(2.26) |
|
px Ψ(r, t) = −i |
∂Ψ(r, t) |
|
|
. |
|
∂x |
||
Итак, по крайней мере для свободной частицы,
px t = V |
Ψ (r, t) −i |
∂ |
Ψ(r, t) dV . |
|
|||
∂x |
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Аналогичные формулы с производными по y и z можно записать и для двух других проекций импульса (проверьте это сами). Хотя для свободной частицы в приведенном выше упражнении мы, конечно, не получаем ничего нового, однако правило (3.26) можно теперь распространить на произвольное состояние. Во всяком случае, его можно принять как разумную гипотезу. Эта гипотеза оказалась верной в том смысле, что она согласуется с экспериментом и с другими правилами квантовой механики.
Введем следующие дифференциальные операторы:
pˆx = −i |
∂ |
, |
pˆy = −i |
∂ |
, |
pˆz = −i |
∂ |
, |
(3.27) |
|
|
|
|||||||
∂x |
∂y |
∂z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
которые назовем операторами проекций импульса частицы. Тогда для любого состояния частицы постулируем правила вычисления средних значений проекций импульса (аргументы опустим для краткости):
px = V Ψ pˆxΨ dV, py = V Ψ pˆyΨ dV, pz = V Ψ pˆz Ψ dV . |
(3.28) |
Договоримся, что любой оператор всегда действует на функцию, расположенную справа от него.
Три правила (3.28) можно записать в виде одного, если ввести векторный оператор
ˆ |
|
оператор импульса, |
(3.29) |
p = −i |
|||
где — оператор “набла” (3.7). Формулы (3.28) эквивалентны векторному равен-
ству
|
|
ˆ |
(3.30) |
p = Ψ p Ψ dV . |
V
Сформулированное выше правило вычисления среднего импульса частицы переносится в квантовой механике на все динамические переменные:
• Каждой динамической переменной соответствует оператор ˆ, действую-
A A
щий на волновые функции. Среднее значение динамической переменной в состоянии, которое описывается волновой функцией Ψ(r, t), вычисляется по формуле1
A = V Ψ AˆΨ dV . |
(3.31) |
Вернемся теперь к выражению (3.23) для средних значений динамических переменных, которые являются функциями координат частицы. Сравнивая это выражение с общим правилом (3.31), приходим к заключению, что операторы координат частицы совпадают с самими координатами, т. е.
xˆ = x, yˆ = y, zˆ = z, |
(3.32) |
|
|
или, что то же самое, оператор радиуса-вектора частицы совпадает с самим радиусом-вектором:
ˆ |
оператор радиуса-вектора. |
(3.33) |
r = r |
Действие операторов (3.32) и (3.33) на волновую функцию сводится к умножению, например, xˆΨ = xΨ.
1Чтобы подчеркнуть квантовый характер динамической переменной, ее среднее зна-
чение часто записывается в виде ˆ . Мы будем использовать оба варианта записи
A A
средних значений.
29
3.6.Примеры операторов динамических переменных
Внашем распоряжении теперь имеется формула (3.31) для вычисления сред-
них значений динамических переменных и явные выражения для операторов ˆ и
r
ˆ. Как строятся операторы других динамических переменных? Во многих случа- p
ях работает такое правило. Если классическая динамическая переменная A(r, p ) является функцией координат и импульса, то квантовый оператор этой динамиче-
|
ˆ |
получается в результате замены |
|
ˆ |
ˆ |
, т. е. |
|||
ской переменной A |
r → r, p → p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
(3.34) |
|
|
|
|
A(r, p ) → A = A(r, p ). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, для момента импульса частицы L [см. (3.19)] это правило дает |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
оператор момента импульса. |
(3.35) |
||||||
|
L = r |
× p |
|||||||
Рекомендуем читателю самостоятельно записать выражения для операторов про-
екций момента импульса |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(см. упражнение 3.5.). |
|
||||||
Lx, |
Ly |
, Lz |
по прави- |
||||||||
Другой важный пример оператора, который можно построить |
|||||||||||
лу (3.34), — оператор |
|
энергии частицы. |
Заметим, что квадрат |
оператора |
|||||||
импульса (3.29) равен pˆ |
2 |
|
ˆ |
ˆ |
2 |
2 |
. Поэтому гамильтониан частицы (3.5) |
||||
|
= p · p = |
− |
|
||||||||
можно записать так: |
|
|
|
|
|
pˆ2 |
|
|
|
||
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
(3.36) |
||||
|
|
|
H(t) = |
|
+ U (r , t). |
||||||
|
|
|
2m |
||||||||
Мы видим, что оператор ˆ соответствует классической динамической перемен-
H
ной E = p2/2m + U (r , t), то есть энергии частицы. Таким образом, в квантовой механике гамильтониан — оператор энергии.
К сожалению, правило построения квантовых операторов, выражаемое формулой (3.34), не является универсальным. Дело в том, что некоторые динамические переменные в квантовой механике не имеют классических аналогов1. В каждом из подобных случаев проблему построения правильного квантового оператора приходится решать отдельно.
Упражнения
3.1.Проверить, что волновая функция свободной частицы (2.26) удовлетворяет уравнению Шредингера (3.3), где U = 0.
3.2.Подставить выражение (3.8) в уравнение Шредингера (3.4) и показать, что Ψ и Ψ удовлетворяют системе уравнений
|
∂Ψ |
ˆ |
, |
|
∂Ψ |
ˆ |
. |
(3.37) |
|
∂t |
∂t |
||||||||
|
= HΨ |
|
= −HΨ |
Указание: Учесть, что гамильтониан (3.5) — действительный оператор.
1Важный пример такой динамической переменной — спин (собственный момент импульса) частицы.
30
3.3. Квантовое состояние частицы описывается волновой функцией (3.18), где a1 и a2 — действительные числа. Показать, что плотность вероятности в этом состоянии имеет вид
|Ψ(r, t)|2 = a12 |ψE1 (r )|2 + a22 |ψE2 (r )|2 + |
(E2 − E1)t . |
(3.38) |
||
+ 2a1a2 Re ψE |
2 (r )ψE1 (r ) exp |
|||
|
|
|
i |
|
Как принято в математике, символом Re{z} обозначена действительная часть комплексного числа z. В каком случае плотность вероятности (3.38) не зависит от времени?
3.4.Записать явное выражение для оператора кинетической энергии частицы
ˆ. Вычислить среднее значение t для свободной частицы с волновой функци-
T T
ей (2.26).
3.5. Используя выражение (3.35) для оператора момента импульса, вывести следующие формулы для операторов проекций момента импульса на оси декартовой системы координат:
Lˆx = −i y |
∂ |
− z |
∂ |
, Lˆy |
= −i z |
∂ |
− x |
∂ |
, Lˆz |
= −i x |
∂ |
− y |
∂ |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂z |
∂y |
∂x |
∂z |
∂y |
∂x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.39) |
|
4.Алгебра операторов
Поскольку квантовые динамические переменные описываются операторами, действующими на волновые функции, имеет смысл обсудить наиболее важные свойства операторов и их связь с физическим содержанием квантовой механики.
4.1. Основные свойства операторов динамических переменных
В математике оператором ˆ называется любое преобразование одной функции1
A
Φ в другую функцию Φ :
|
ˆ |
(4.1) |
Φ |
(r ) = (AΦ)(r ). |
Операторы, которые соответствуют динамическим переменным, должны удовлетворять некоторым условиям, вытекающим из основных принципов квантовой механики. Например, дальше мы увидим, что для справедливости постулата об измерении динамических переменных, сформулированного на стр. 26, необходимо, чтобы оператор любой динамической переменной был линейным. Требования к линейному оператору таковы:
ˆ |
ˆ |
|
|
|
A(aΦ) = aAΦ, |
|
|
(4.2) |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
, |
|
A (Φ1 |
+ Φ2) = AΦ1 |
+ AΦ2 |
|
|
1Операторы могут действовать не только на функции, но и на другие объекты, но здесь мы не будем строить общую теорию операторов.
31
где a — произвольное комплексное число. Используя эти свойства, легко доказать, что для любого линейного оператора справедливо равенство
Aˆ i |
aiΦi = i |
ai AˆΦi . |
(4.3) |
Читателю будет полезно самому проверить, что все операторы динамических переменных, которые были введены в предыдущем параграфе, являются линейными операторами.
Еще одно свойство операторов в квантовой механике следует из очевидного требования, чтобы среднее значение любой динамической переменной было действи-
тельным, т. е. ˆ ˆ . Чтобы сформулировать это свойство, нам потребуются
A = A
новые понятия.
Во-первых, определим комплексно сопряженный оператор ˆ , который по-
A
лучается из оператора ˆ заменой → − . Если мнимая единица не входит явно в
A i i
оператор ˆ, то, конечно, ˆ ˆ. В таком случае говорят, что ˆ — действитель-
A A = A A
ный оператор. Во-вторых, для оператора ˆ можно ввести транспонированный
A
оператор ˆ, который определяется равенством
A
ˆ ˆ (4.4)
Φ1(AΦ2) dV = Φ2(AΦ1) dV,
где Φ1 и Φ2 — произвольные функции координат. Наконец, введем эрмитово сопряженный оператор1
A = A .
ˆ† ˆ (4.5)
Предлагаем читателю в качестве упражнения проверить, что эрмитово сопряженный оператор удовлетворяет соотношению
|
|
Φ1AˆΦ2 dV = Φ2Aˆ†Φ1 dV, |
(4.6) |
где Φ1, Φ2 — две произвольные функции.
Рассмотрим теперь среднее значение динамической переменной, которой соот-
ветствует оператор ˆ. Используя определение эрмитово сопряженного оператора
A
и равенство (4.6), запишем
ˆ ≡ ˆ ˆ† ≡ ˆ†
A Ψ AΨ dV = Ψ A Ψ dV A .
Так как для произвольного квантового состояния Ψ должно выполняться равенствоA = A , то оператор любой динамической переменной обязан удовлетворять условию
ˆ† |
ˆ |
эрмитовый оператор. |
(4.7) |
A |
= A |
1Название операции (4.5) связано с фамилией французского математика XIX века Шарля Эрмита.