А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ - Основы квантовой механики(розовая)
.pdf222
соотношением (16.25). В самом деле, r | p = ψp (r ) есть не что иное как волновая
функция свободной частицы с импульсом p в координатном представлении. Для нее мы имеем явное выражение (5.47). Поэтому
p | r = r | p = |
1 |
e−ip · r/ . |
(16.60) |
(2π )3/2 |
Вспоминая (16.59), находим связь между волновыми функциями частицы в координатном и импульсном представлениях:
|
Φ(p, t) = |
|
|
1 |
|
e−ip · r/ Ψ(r, t) d3r. |
|
(16.61) |
|
|
|
|
|||||
|
|
(2π )3/2 |
||||||
Если Ψ(r, t) нормирована на |
единицу, то нетрудно проверить (см. |
упражне- |
||||||
ние 16.7.), что Φ(p, t) также нормирована на единицу, т. е. |
|
|||||||
|
|
|
| Φ(p, t)|2 d3p = 1, |
(16.62) |
где d3p = dpx dpy dpz и интегрирование по каждой проекции импульса ведется от
−∞ до +∞. Преобразование волновой функции, обратное к (16.61), имеет вид (проверьте!)
|
Ψ(r, t) = |
1 |
|
eip · r/ Φ(p, t) d3p. |
|
|
|
(16.63) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(2π )3/2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
Ψ(t) |
|
находится |
Согласно общей теории, волновая функция Φ(p, t) состояния A |
|
||||||||
по формуле |
|
|
|
3 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.64) |
|
|
Φ(p, t) = p |Aˆ| p Φ(p , t) d p . |
|
|
|
Найдем матричные элементы наиболее важных операторов: ˆ и ˆ. Проще начать
r p
с оператора ˆ, так как для него импульсное представление является собственным p
и, следовательно,
|
|
ˆ |
| p = p | p . |
|
|
(16.65) |
||
Отсюда находим, что |
p |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ˆ |
| p |
|
= p δ(p − p |
|
). |
(16.66) |
|
|
p | p |
|
|
Как и следовало ожидать, матрица оператора импульса в этом представлении диагональна. Подставляя выражение (16.66) в формулу (16.64), приходим к заключению, что действие оператора импульса на волновую функцию в своем собственном представлении сводится к умножению, т. е. можно пользоваться правилом
ˆ |
(16.67) |
p Φ(p, t) = p Φ(p, t). |
Все это очень похоже на свойства оператора ˆ в координатном представлении.
r
224
Например, у частицы, движущейся в центральном поле, гамильтониан коммути-
рует с оператором квадрата момента импульса |
ˆ2 |
ˆ |
L |
, с оператором его проекции Lz |
|
на произвольно выбранную ось квантования z |
и с оператором проекции спина |
ˆ . Кроме того, все эти операторы коммутируют друг с другом. Таким образом,
Sz
стационарные состояния частицы в центральном поле |n ≡ |n0 l m ms нумеруются сложным индексом n, включающим четыре квантовые числа, которые определяют значения всех перечисленных динамических переменных1. Для системы, состоящей из N частиц, обладающих спином, количество квантовых чисел в индексе n равно 4N . Некоторые из этих квантовых чисел могут принимать непрерывный набор значений.
Иногда в качестве базисных состояний бывает удобнее использовать не собственные состояния гамильтониана и коммутирующих с ним динамических переменных, а их ортонормированные линейные комбинации. В качестве примера напомним, что в разделе 11.4. для электрона в водородоподобном атоме вводились стационарные состояния, которые характеризовались не l, m, ms, а квантовыми числами l, j, mj , где j определяет значение квадрата полного момента частицы, а mj — значение его проекции на ось квантования.
Роль “волновой функции” в энергетическом представлении играет набор амплитуд вероятности n|Ψ(t) обнаружить систему в любом из базисных стационарных состояний, а разложение произвольного вектора состояния |Ψ(t) имеет вид
|Ψ(t) = |
|n n|Ψ(t) . |
(16.72) |
n
При решении конкретных задач энергетическое представление используется только для достаточно простых систем, так как для построения базисных состояний |n нужно точно решить стационарное уравнение Шредингера.
16.4.Представление чисел заполнения для осциллятора
Модель гармонического осциллятора очень часто встречается в приложениях квантовой механики. Например, в разделе 14.2. мы выяснили, что этой моделью описываются колебания молекул. Важную роль играет модель квантового осциллятора и в физике твердого тела, поскольку колебания атомов кристаллической решетки около положений равновесия также удается описать на языке связанных друг с другом квантовых осцилляторов. Ввиду практической ценности модели желательно иметь наиболее простое и удобное представление для квантовых состояний осциллятора и относящихся к нему операторов. В этом разделе мы построим такое представление; по причинам, которые станут ясны чуть позже, его обычно называют представлением чисел заполнения, хотя стоит сразу же сказать, что оно совпадает с энергетическим представлением.
Чтобы избежать удаленных ссылок на формулы из раздела 6.3., приведем еще раз наиболее важные факты и соотношения. Гамильтониан квантового гармонического осциллятора имеет вид
ˆ |
pˆ2 |
|
mω2xˆ2 |
|
(16.73) |
|
x |
|
|
|
|
||
H = |
2m |
+ |
2 |
, |
1Мы обозначили главное квантовое число буквой n0, чтобы не спутать его со всем сложным индексом n.
226
x|Ψ(t) и ψn(x) = x|n . Идея, реализацию которой мы дальше рассмотрим, состоит в том, чтобы вместо операторов xˆ и pˆx ввести новые основные операторы, действующие непосредственно на базисные векторы состояния |n и обладающие простыми свойствами.
В качестве первого шага рассмотрим действие операторов xˆ и pˆx на волновые функции стационарных состояний осциллятора (16.76). Начнем с оператора координаты. Используя свойство (16.77) полиномов Эрмита, легко проверить (см. упражнение 16.9.), что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
xψˆ |
n ≡ x ψn = x0 |
n |
ψn−1 + |
n + 1 |
ψn+1 |
(16.80) |
||||
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
На языке векторов состояния это означает, что
|
|
|
|
|
|
|
xˆ|n = x0 |
|
n |
|n − 1 + |
n + 1 |
|n + 1 . |
(16.81) |
|
|
|||||
2 |
2 |
В самом деле, вычисляя матричные элементы n |xˆ|n с помощью формул (16.80) и (16.81), мы получим одинаковые результаты.
Посмотрим теперь, что дает действие оператора pˆx = −i ∂/∂x на волновую функцию ψn(x). Здесь помогает свойство (16.78) полиномов Эрмита. После простых преобразований (см. упражнение 16.9.) получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
n |
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
pˆxψn = − |
|
|
|
|
|
ψn−1 − |
|
|
|
|
|
|
ψn+1 |
, |
|
|
(16.82) |
|||||||||||||
x0 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
или, переходя к векторам состояния, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
pˆx|n = − |
|
|
n |
|n − 1 − |
|
|
|n + 1 . |
|
(16.83) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x0 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Мы подошли к ключевому моменту. Введем операторы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
aˆ = 12 |
|
xˆ |
|
ix |
|
|
aˆ† = |
12 |
|
|
xˆ |
ix |
. |
(16.84) |
||||||||||||||||
|
x0 + |
|
0 pˆx , |
|
x0 − |
0 pˆx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Они обладают некоторыми важными свойствами. Во-первых, с помощью (16.81) и (16.83) находим действие этих операторов на базисные состояния |n :
|
|
|
|
|
|
aˆ|n = |
|
|n − 1 , aˆ†|n = |
|
|n + 1 . |
(16.85) |
n |
n + 1 |
Таким образом, оператор aˆ† переводит стационарное состояние осциллятора с номером n в состояние с номером на единицу б´ольшим (с дополнительны множи-
телем n + 1 ), а оператор aˆ переводит |n в стационарное состояние с номером на единицу меньшим. Как видно из формулы (16.75), n есть число квантов возбуждения ω в состоянии |n , отсчитанное от основного уровня энергии. По этой
227
причине оператор aˆ† называется оператором рождения кванта возбуждения, а оператор aˆ — оператором уничтожения кванта возбуждения1.
Используя (16.74) и (16.85), легко убедиться, что aˆ и aˆ† удовлетворяют коммутационному соотношению
[ˆa, aˆ†] ≡ aˆaˆ† − aˆ†aˆ = 1. |
(16.86) |
Как обычно, для упрощения формул пишем вместо единичного оператора ˆ.
1 1
Важную роль в теории осциллятора играет оператор числа квантов воз-
буждения2 |
|
nˆ = aˆ†aˆ. |
(16.87) |
Действуя этим оператором на состояние |n и учитывая формулы (16.85), получаем
nˆ |n = n |n . |
(16.88) |
Отсюда видно, что стационарные состояния осциллятора являются собственными состояниями оператора числа квантов, а собственные значения равны числу квантов возбуждения n = 0, 1, 2, . . . По исторической традиции значения квантового числа n называются числами заполнения. Поэтому представление с базисными векторами состояния |n называется представлением чисел заполнения.
Все операторы, относящиеся к осциллятору, можно выразить через операторы рождения и уничтожения. В частности, из формул (16.84) легко находятся выражения для операторов координаты и импульса (выкладки оставляем читателю):
|
|
x0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xˆ = √ |
|
aˆ + aˆ† , |
|
pˆx = −i |
√ |
|
x0 |
|
aˆ − aˆ† . |
|
(16.89) |
||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
Подставляя эти выражения в (16.73) |
|
и производя |
упрощения (см. |
упражне- |
||||||||||||||
ние 16.11.), получаем гамильтониан осциллятора в таком виде: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hˆ = ω aˆ†aˆ + |
1 |
≡ ω |
nˆ + |
|
1 |
. |
|
|
(16.90) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||
C учетом соотношения (16.88) убеждаемся, что |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
H|n = En|n , где уровни энергии |
||||||||||||||||||
даются формулой (16.75). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операторы рождения и уничтожения очень удобны для вычисления всякого рода средних значений. В качестве иллюстрации найдем средние квадратичные отклонения (квантовые неопределенности) координаты и импульса в стационарном состоянии |n . Из общей формулы (4.21) следует, что
(∆x)2 = n|xˆ2|n − ( n|xˆ|n )2 , (∆px)2 = n|pˆ2x|n − ( n|pˆx|n )2 .
1Для краткости aˆ† называют просто оператором рождения, а aˆ — оператором уничтожения.
2Часто его называют просто оператором числа квантов.
228
Средние значения n|xˆ|n и n|pˆx|n равны нулю; это легко заметить, например, из формул (16.89), так как диагональные матричные элементы n|aˆ|n и n|aˆ†|n равны нулю. Вычислим теперь среднее значение n|xˆ2|n , которое можно представить в виде
n|xˆ2|n = 20 |
/n aˆ + aˆ† |
n0 = 2m ω /n aˆ2 + (ˆa†)2 + aˆaˆ† + aˆ†aˆ n0, |
|
|
|
||||||||||||
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где использовано |
|
выражение |
x0 |
= |
|
|
|
. Учитывая, |
что диагональные |
мат- |
|||||||
|
/mω |
||||||||||||||||
ричные элементы операторов ˆ |
и |
† |
|
равны нулю, и записывая |
|
† |
|
† |
|
, |
|||||||
получаем |
|
a2 |
|
(ˆa )2 |
|
|
|
|
aˆaˆ |
|
= aˆ |
|
aˆ + 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n|xˆ2|n = |
|
(1 + 2n). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2m ω |
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление n|pˆ2x|n выполняется точно так же. Мы оставим его читателю в качестве упражнения и выпишем окончательные формулы для квантовых неопреде-
ленностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x = |
|
2m ω (1 + 2n), |
|
∆px = |
m2 |
ω |
(1 + 2n). |
(16.91) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, что произведение неопределенностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x ∆px = |
1 + 2n |
|
|
|
(16.92) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
удовлетворяет фундаментальному неравенству Гайзенберга [см. (4.27)] и имеет минимальное значение при n = 0, т. е. в основном состоянии осциллятора.
Подведем итоги.
•Базисными состояниями квантового осциллятора в представлении чисел заполнения являются стационарные состояния |n .
•Все динамические переменные для осциллятора могут быть выражены через оператор уничтожения кванта возбуждения aˆ и эрмитово сопряженный ему оператор рождения aˆ†. Эти операторы удовлетворяют коммутационному соотношению (16.86) и действуют на базисные состояния по правилам (16.85).
•В представлении чисел заполнения отличны от нуля следующие матричные элементы операторов рождения и уничтожения:
n − 1|aˆ|n = √ |
n, n + 1|aˆ†|n = √ |
|
. |
(16.93) |
n + 1 |
•В представлении чисел заполнения матрица гамильтониана осциллятора диагональна, т. е.
Hnn = En δnn ,
где En — уровни энергии осциллятора (16.75).
В принципе, приведенных сведений достаточно для решения любой задачи, относящейся к квантовому осциллятору. При этом не нужно даже знать явного выражения для волновых функций ψn(x), которые соответствуют координатному представлению.
229
Упражнения
16.1. Доказать, что соотношения (16.28) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор векторов состояния (16.27) был полным и ортонормированным.
Указание: С помощью (16.27) скалярное произведение b|b записывается в виде
|
|
|
b|b = Cb a b|a = CbaCb a a|a = CbaCb a. |
||
a |
a ,a |
a |
Таким образом, для выполнения равенства b|b = δbb необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое соотношение (16.28). Второе соотношение получается из требования, чтобы набор {|b} был полным. По предположению, исходный набор {|a} является полным, т. е. любой вектор состояния можно разложить по этим векторам. Значит, для полноты нового набора необходимо и достаточно, чтобы любой |a мог быть разложен по векторам |b . Записав
|a = |b b|a ,
b
а затем, вычислив с помощью этого равенства скалярное произведение a |a и приравняв его δaa , можно получить второе соотношение (16.28).
16.2. Используя определение (16.31) эрмитово сопряженного оператора, доказать, что среднее значение самосопряженного (эрмитового) оператора в любом квантовом состоянии является действительным числом.
16.3. Доказать, что матрица оператора ˆ ˆ ˆ в любом представлении есть
C = AB
произведение матриц операторов ˆ и ˆ:
A B
|
|
|
|
|
|
Caa = Aaa Ba a . |
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
Обобщить это соотношение на операторы вида |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
C = A1A2 |
· · · Ak. |
||||
Указание: Матричный элемент Caa можно записать в виде |
|||||
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ ˆ |
|
. |
|
Caa = a|AB|a |
= a|A 1 B|a |
|
Остается воспользоваться формулой (16.21) для единичного оператора.
16.4. Показать, что уравнение (16.44) в произвольном a-представлении эквивалентно следующему матричному уравнению для волновой функции ψA(a) = a|A :
|
(a ) = 0. |
(16.94) |
(Aaa − A δaa ) ψA |
a
Указание: Умножить скалярно обе части (16.44) на базисный вектор |a , а затем
разложить вектор состояния ˆ по базисным векторам.
A
16.5. В волновой механике Шредингера гамильтониан частицы во внешнем по-
ˆ |
2 |
|
|
тенциальном поле имеет вид H = pˆ |
/2m + U (r ). Проверить, что матричные эле- |
||
менты гамильтониана в координатном представлении даются выражением |
|||
|
|
2 |
|
r |Hˆ | r = − |
|
2 + U (r ) δ(r − r ), |
|
2m |
230
где 2 — оператор дифференцирования по проекциям вектора r. Определение производных дельта-функции приводится на стр. 221.
16.6. Рассматривается частица со спином s. В качестве базисных состояний частицы выбраны состояния |q ≡ |r , ms , где спиновое магнитное квантовое число (ms = −s, −s + 1, . . . , s) определяет значение проекции спина частицы Sz = ms на ось квантования z.
а) Записать условие нормировки для векторов состояния |q и условие полноты базиса;
б) Найти матричные элементы | ˆ| оператора радиуса-вектора и матричные q r q
элементы | ˆ| оператора импульса в -представлении; q p q q
в) Найти матричные элементы | ˆ | оператора ˆ в этом представлении; q Sz q Sz
г) Для случая найти также матричные элементы | ˆ | и | ˆ | . s = 1/2 q Sx q q Sy q
16.7. Проверить условие нормировки (16.62) для волновой функции частицы в импульсном представлении.
Указание: Если записать Φ (p, t) в виде интеграла, выполнив комплексное сопряжение в (16.61), то левая часть (16.62) приводится к виду
|
|Φ(p, t)|2 d3p = |
1 |
|
d3p |
d3r |
d3r e−ip · (r−r )/ Ψ (r , t)Ψ(r, t). |
(2π )3 |
Выражение выглядит довольно сложным, но если первым вычислить интеграл по p, то возникает дельта-функция δ(r − r ) [см. (16.69)], которая затем “снимает” интеграл по r .
16.8.Используя формулу (6.40) для полиномов Эрмита, проверить равенства (16.77) и (16.78).
16.9.Вывести соотношения (16.80) и (16.82).
Указание: Удобно записать x = x0ξ и pˆx = (−i /x0)∂/∂ξ. Обозначим через An нормировочную постоянную в выражении (16.76) для ψn. Тогда, согласно свойству (16.77) полиномов Эрмита,
|
1 |
|
2 |
|
An |
|
1 An |
|
||||
ξψn = AnnHn−1 + |
|
An |
Hn+1 e−ξ |
/2 = |
|
n ψn−1 |
+ |
|
|
|
|
ψn+1. |
2 |
An−1 |
|
2 An+1 |
Отношения нормировочных постоянных легко находятся:
An/An−1 = 1/ 2n, An/An+1 = 2(n + 1).
С учетом приведенных формул сразу получается (16.80). Для вывода (16.82) нужно воспользоваться свойством (16.77) полиномов Эрмита.
16.10.Поверить, что оператор aˆ† [см. (16.84)] является эрмитово сопряженным оператору aˆ.
Указание: Учесть, что операторы xˆ и pˆx эрмитовы.
16.11.С помощью выражений (16.89) преобразовать гамильтониан осциллятора (16.73) к виду (16.90).
Указание: Прямая подстановка выражений (16.89) в (16.73) с учетом того, что
x0 = /mω, дает
ˆ ω , † † − − † − † -
H = (ˆa + aˆ )(ˆa + aˆ ) (ˆa aˆ )(ˆa aˆ ) . 4