- •Интегральный признак Коши
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •1) Основные определения.
- •Степенные ряды.
- •Единственность ряда Тейлора
- •Ряды Фурье. Ортогональные системы функций и общие ряды Фурье.
- •Ряды Фурье по тригонометрическим системам.
- •Применение метода Фурье к решению некоторых задач математической физики.
- •3. Задача о свободных колебаниях ограниченной струны, закрепленной на концах.
3. Задача о свободных колебаниях ограниченной струны, закрепленной на концах.
Пусть функция описывает малые поперечные колебания струны, .
Уравнение колебаний: (1), - время, - координата точки на струне , зависящая от параметров струны.
Пусть (2)
Условия (2) - начальные условия (задача Коши).
Пусть струна закреплена на обоих концах: , условия (3) - граничные условия.
Метод Фурье: будем искать в виде .
Тогда .
Из (1) сдедует: .
То есть уравнение эквивалентно системе
.
Рассмотрим первое из этих уравнений. Из условий закрепления (3) следует:
. Задача называется задачей Штурма-Лиувилля.
а) если
.
б) если - различные действительные корни .
(аналогично случаю а), т.е. такие тоже исключаем).
в) условие разрешимости задачи: . Тогда характеристическое уравнение (ХУ) имеет чисто мнимые корни
. - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.
Функции составляют Ф.С.Р. и называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля
.
Рассмотрим теперь другое уравнение: .
Итак, мы имеем и . Тогда частное решение , а общее решение = линейной комбинации частных: . Найдем коэффициенты из начальных условий (2): - коэффициент ряда Фурье функции , заданной на полупериоде , продолженной нечетным образом (т.к. ряд только по косинусам);
, - коэффициент Фурье функции , заданной на полупериоде , продолженной нечетным образом, а
. Тогда , где .
Пример. Задача т.р. № 6.
.
, , , , .
, .
Ответ: .
4. Задача о распространении температуры в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью.
Уравнение теплопроводности: - однородное уравнение параболического типа. Начальные условия: - начальная температура.
Различные типы граничных условий:
- на концах поддерживается нулевая температура.
- оба конца теплоизолированы.
- смешанного типа.
5. Метод Фурье для решения уравнений эллиптического типа.
Функции, удовлетворяющие уравнению называются гармонические.
Задача. Найти функции, гармонические внутри прямоугольника , если на его границах выполняются условия:
.
Будем искать
.
.
или (что то же самое, т.к. ) .
. . Найдем :
,
.