Ряды Фурье по тригонометрическим системам.

Опр: Системы (1) и система

(2) будем называть тригонометрическими системами. Докажем

ортогональность для системы (1) на :

Опр: ортогональна на множестве, если .

а) , как интеграл от нечетн. функции на четном интервале.

б) .

в) (в силу нечетности произведения функций).

г) .

д)

Итак, какие две различные функции мы не возмем, они ортогональны, значит

система ортогональна на . Вычислим нормы элементов системы (1):

.

. . Итак:

.

Запишем тригонометрический ряд для произвольной функции. Ряд Фурье по

тригонометрической системе на :

Это ряд Фурье функции

по системе (1) на . Вычислим коэффициенты . Умножим

скалярно левую и правую части на 1: . В силу ортонормальности

системы (1) все отмеченные произведения равны 0, за исключением первого . Обозначим за . Для вычисления

умножим обе части на :

. В

силу ортогональности системы все отмеченные скобки равны 0, за исключением

предпоследней . Чтобы вычислить коэффициенты

умножим обе части на : .

В силу ортогональности системы все скобки равны 0, за исключением последней

.

Итак, функция , заданная на отрезке , представима на этом

отрезке следующим рядом Фурье: , где . Если функция задана на , то

ее ряд Фурье будет таким же, только будут .

Ряды Фурье для функций, обладающих четностью и нечетностью.

Опр. четная, т.е. . В этом случае

и ряд Фурье для четной функции будет

содержать только косинусы: .

Опр. нечетная, т.е. . В этом случае

и ряд Фурье для нечетной функции будет содержать

только синусы: .

Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.

Пуcть f(x) задана на интервале . Продолжим ее на , а затем продолжим на всю числовую ось с периодом . Полученную функцию можно представить в виде ряда Фурье по системе функций

Если выбрать способ продолжения на так, чтобы получилась нечетная функция:

то ряд Фурье будет содержать только синусы, т.к.

Если выбрать способ продолжения на так, чтобы получилась четная функция:

то ряд Фурье будет содержать только косинусы, т.к.

Отметим, что предложенными двумя способами продолжения не исчерпываются, но они наиболее востребованы, т.к. дают ряды удобного вида.

Применение метода Фурье к решению некоторых задач математической физики.

1. Уравнение в частных производных.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение

относительно функции нескольких переменных и её частных производных различных порядков: .

2. Уравнения математической физики.

Уравнениями математической физики называются линейные дифференциалые уравнения 2-го порядка в частных производных. Например:

.

С помощью замены переменных такие уравнения преобразуются в уравнения одного из следующих трех типов:

(1)

(2)

(3) .

Введем обозначение: - оператор Лапласа. Тогда уравнения

(1),(2),(3) можно записать в виде:

(1)

(2)

(3) .

Уравнения типа (1) называются уравнениями гиперболического типа, или

волновыми уравнениями. Такое уравнение описывает колебания струны, мембраны, течение жидкости, волны и т.д.

Уравнения типа (2) называются уравнениями параболического типа. Они описывают распространение тепла в средах и называются уравнениями теплопроводности.

Уравнения типа (3) описывают стационарные процессы (не зависящие от времени). Они называются уравнениями эллиптического типа, или уравнениями Лапласа.

Если функция , стоящая в правой части уравнения такая, что. Например, уравнение (1) при описывает собственные колебания (или свободные колебания), а при -

вынужденные колебания системы.