- •В.П. Носко
- •Оглавление
- •Часть 1.Оценивание и подбор моделей связи между переменными без привлечения вероятностно-статистических методов7
- •Часть 2. Статистические выводы при стандартных предположениях о вероятностной структуре ошибок в линейной модели наблюдений85
- •Часть 3.Проверка выполнения стандартных предположений об ошибках в линейной модели наблюдений. Коррекция статистических выводов при нарушении стандартных предположений об ошибках180
- •Предисловие
- •Часть 1. Оценивание и подбор моделей связи между переменными без привлечения вероятностно-статистических методов
- •1.1. Эконометрика и ее связь с экономической теорией
- •1.2. Две переменные: меры изменчивости и связи
- •1.3. Метод наименьших квадратов. Прямолинейный характер связи между двумя экономическими факторами
- •1.4. Свойства выборочной ковариации, выборочной дисперсии и выборочного коэффициента корреляции
- •1.5. «Обратная» модель прямолинейной связи
- •1.6. Пропорциональная связь между переменными
- •1.7. Примеры подбора линейных моделей связи между двумя факторами. Фиктивная линейная связь
- •1.8. Очистка переменных. Частный коэффициент корреляции
- •1.9. Процентное изменение факторов в линейной модели связи
- •1.10. Нелинейная связь между переменными
- •1.11. Пример подбора моделей нелинейной связи, сводящихся к линейной модели.
- •1.12. Линейные модели с несколькими объясняющими переменными
- •Часть 2. Статистические выводы при стандартных предположениях о вероятностной структуре ошибок в линейной модели наблюдений
- •2.1. Вероятностное моделирование ошибок
- •2.2. Гауссовское (нормальное) распределение ошибок в линейной модели наблюдений
- •2.3. Числовые характеристики случайных величин и их свойства
- •2.4. Нормальные линейные модели с несколькими объясняющими переменными
- •2.5. Нормальная множественная регрессия: доверительные интервалы для коэффициентов
- •2.6. Доверительные интервалы для коэффициентов: реальные статистические данные
- •2.7. Проверка статистических гипотез о значениях коэффициентов
- •2.8. Проверка значимости параметров линейной регрессии и подбор модели с использованием f-критериев
- •2.9. Проверка значимости и подбор модели с использованием коэффициентов детерминации. Информационные критерии
- •2.10. Проверка гипотез о значениях коэффициентов: односторонние критерии
- •2.11. Некоторые проблемы, связанные с проверкой гипотез о значениях коэффициентов
- •2.12. Использование оцененной модели для прогнозирования
- •Часть 3. Проверка выполнения стандартных предположений об ошибках в линейной модели наблюдений. Коррекция статистических выводов при нарушении стандартных предположений об ошибках
- •3.1. Проверка адекватности подобранной модели имеющимся статистическим данным: графические методы
- •3.2. Проверка адекватности подобранной модели имеющимся статистическим данным: формальные статистические процедуры
- •3.3. Неадекватность подобранной модели: примеры и последствия
- •3.4. Коррекция статистических выводов при наличии гетероскедастичности (неоднородности дисперсий ошибок)
- •3.5. Коррекция статистических выводов при автокоррелированности ошибок
- •3.6. Коррекция статистических выводов при наличии сезонности. Фиктивные переменные
- •Заключение
- •Список литературы
1.10. Нелинейная связь между переменными
Разумеется, связь между конкретными экономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.
Например, если мы рассматриваем зависимость от располагаемого дохода не всех затрат на личное потребление, а лишь затратна некоторыйпродукт питания(или группу продуктов питания), например, на куриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функция связи
скорее всего, должна замедлять свой ростпри возрастании, так что возможный график этой функции имеет вид
В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого, в рассмотрение вводят понятиепредельной (marginal) склонности к потреблению (MPC), которая для заданной величинырасполагаемого дохода определяется формулой
Иначе говоря,
Замедление скорости роста функции соответствуетубываниюс возрастанием.Уточняя предположения о поведении, можно получить ту или иную форму связи между переменнымии .
Среди прочих возможных форм связи между и отметимстепенную связь
в которой . Для такой связи
так что предельная склонность к потреблению монотонно убываетс ростом.
Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровнейпо какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).
Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем соотношение
или, обозначая
Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений
которую мы уже умеем оценивать.
Заметим, что коэффициент в последних выражениях есть не что иное как
эта величина не зависит от выбора основания логарифмов, так что
где используются натуральные логарифмы.
Вообще, если мы имеем связь между какими-то переменными экономическими факторами и в виде
то мы определяем функцию
как предельную склонность Y по отношению к X.
В экономической теории существенную роль играет функция эластичности, определяемая как предел
отношения процентногоизменения кпроцентномуизменению, когда последнеестремится к нулю. Правую часть последнего соотношения можно записать в виде
Заметим также, что
так что
Значение равно угловому коэффициенту касательной к графику функциипри, тогда как значениеравно угловому коэффициенту касательной к графику зависимостиотпри. Как следствие, условие постоянства, т. е., означаетлинейную связь между уровнями факторов
а условие постоянства эластичности означаетлинейную связь между логарифмами уровней
соответствующую степенной связи между уровнями
выражающей степенное возрастание (при ) или убывание (при) уровней факторапри возрастании уровней фактора.
Заметим, что если , то эту постоянную можно трактовать какпроцентное изменение уровня фактора при изменении фактора на 1%.
Отметим также, что в модели функция эластичности имеет вид
и при возрастает отдос возрастанием значенийотдо. Если , то . При функция эластичности убывает от до, когдаизменяется от до.
К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.
Так, если — объем плановых инвестиций, а — норма процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме
и имет графическое представление
Заменой переменной приводим указанную связь к линейной формеВ этой модели эластичностьпоотрицательна именьше единицы по абсолютной величине:
(«объем плановых инвестиций неэластиченпо отношению к норме процента»).
В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшениес возрастанием, все жене всегда удовлетворительна, посколькуэластичность в такой модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, скорее более подходящей будет модель связи субывающей(в конечном счете)эластичностью. Такого рода связь между факторами и может иметь вид
(См. следующий график, построенный при 5, 10.)
Действительно,
однако, здесь возникают проблемы с отрицательными значениями при малых значениях.
Последнего недостатка нет в модели
т. е.
(График построен при значениях 0.1, 1.) Здесь
(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу).
Обе последние модели сводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратным величинам.
Замечание
Если исследователь принимает модель наблюдений
то тем самым, он соглашается тем, что
или
т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок в нелинейное уравнениедля.
В то же время, не исключено, что по существу дела модель должна иметь вид
т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случае взятие логарифмов от обеих частейне приводит к линейной модели наблюдений. В такой ситуации оценки наименьших квадратов параметрови приходится получатьитерационными методами, в процессе реализации которых производитсяпоследовательное приближение к минимуму суммы квадратов