2.11. Некоторые проблемы, связанные с проверкой гипотез о значениях коэффициентов

Итак, фактически, мы уже построили критерий проверки гипотезы

против альтернативы

Это тот же критерий с уровнем значимости , который был предназначен для проверки гипотезыпротив альтернативыТакой критерий отвергает гипотезупри

что и имеет место в нашем примере. Соответственно, нулевая гипотеза эластичности потребления текстиля по цене отвергается.

Мы также фактически построили критерий проверки гипотезы

против альтернативы

Это тот же критерий с уровнем значимости , который был предназначен для проверки гипотезыпротив альтернативыТакой критерий отвергает гипотезупри

что не выполняетсяв нашем примере. Соответственно,нулевая гипотеза неэластичности потребления текстиля по доходу отвергается.

Представляет, однако, интерес то, какие решения будут приняты, если поменять местаминулевую и альтернативную гипотезы.

В отношении эластичности по цене возьмем теперь пару гипотез

При построении соответствующего критерия достаточно обратиться к критерию для пары

который отвергает гипотезу при

(на левом хвостераспределения). Но у нас

так что гипотеза, а значит, ине отвергаютсяв пользу

Итак, здесь нулевая гипотеза о неэластичностипотребления по ценене отвергается, и это решениесогласуетсяс отклонением нулевой гипотезы об эластичности потребления по цене.

Рассмотрим, наконец, пару гипотез

Здесь мы исходим из критерия, предназначенного для пары

и, с учетом использования знаков равенства в этих парах, отвергаем гипотезу при

В нашем случае

так что гипотеза не отвергается.

Итак, здесь нулевая гипотеза эластичностипотребления по доходу не отвергается. Но ранее мы установили, что и нулевая гипотеза неэластичности потребления по доходутакже не отвергается.

Из рассмотренного примера мы должны сделать важнейший вывод:

Решения об отклонении или неотклонении одной из двух соперничающих гипотез могут быть различными, в зависимости от того, какая из двух гипотез принимается за основную (нулевую).

При решении вопроса о характере зависимости потребления текстиля от его относительной цены оба варианта выбора нулевой гипотезы дали согласованные результаты: основная гипотеза неэластичности не отвергается, а основная гипотеза эластичности отвергается.

Однако при решении вопроса о характере зависимости потребления текстиля от располагаемого дохода не отвергаются ни основная гипотеза эластичности ни основная гипотеза неэластичности. В такой ситуации каждыйиз исследователей, придерживающихсяпротивоположныхаприорных позиций относительно эластичности или неэластичности потребления текстиля по доходу, может считать, что имеющиеся статистические данные «подтверждают»именно его гипотезу, хотя правильнее заключить, что имеющиеся статистические данные «не противоречат» его гипотезев рамках соответствующего статистического критерия.

Мы должны теперь сделать еще одно важнейшее замечание. Пусть

Тогда — статистика критерия равна

Гипотезаотвергается в пользу, если

Но при, и это означает, чтоесли , то гипотезане может быть отвергнута в пользу.

Следовательно, если мы сначала оценим по имеющимся статистическим данным коэффициент , и только после этого выберем указанную пару гипотез для некоторого значениято в такой ситуации построенный потем же данным указанный-критерийникогда не отвергнет гипотезув пользу.

Аналогично, если мы, оценив, формулируем пару гипотез

для некоторого то тогда соответствующий односторонний-критерий, построенный потем же данным,никогда не отвергнет гипотезув пользу.

В случае двухстороннего-критерия

формулирование гипотезы с, где—оцененноезначение параметра, приводит к тому, что эта гипотезазаведомо не будет отвергнута(-статистика принимаетнулевое значение).

Логическая ошибка в последних трех случаях состоит в том, что теориястатистических критериев строится в предположении, что гипотезыификсируются до обращения к статистической обработке данных.

В последней ситуации априори нельзя абсолютно точно сказать, будет ли значение больше или меньшезаранее выбранногогипотетического значения.

Пример.Пусть- совокупные расходы на личное потребление в США,- совокупный располагаемый доход (1970—1979 г. г., млрд. долларов в ценах 1972 г.).

Подобранная модель

Уже зная, что,бессмысленно(илинечестно) ставить задачу проверки гипотезыпротив альтернативы, поскольку на основании имеющихся наблюдений гипотезазаведомо не будет отвергнута. Она отвергается лишь при большихположительныхзначениях-статистики

а у нас числитель последнего отношения принимает отрицательноезначение. Другое дело, что сформулировать такую гипотезу ещедо анализа статистических данных вполне разумно. Впрочем, последнее вовсе не означает, чтобудет всегда меньше единицы, даже если истинное.

Проверим теперь гипотезу против односторонней альтернативыв той же ситуации, но на основании данных за период с 1970 по 1981 г.,лет.

В этом случае , так что-статистика

Если мы используем для проверки гипотезыдвусторонний -критерий с уровнем значимости, то будем отвергать, когда

.

Если же использовать односторонний-критерий с уровнем значимости, то будем отвергать, когда

.

В обоих случаях вероятность ошибочного отклонения гипотезыравна.

Представим теперь, что в действительности. Тогда распределение Стьюдентаимеет статистика

Какова вероятность того, что гипотеза будет отвергнута?

При использовании двустороннегокритерия

или

или

или

или

+

.

А при использовании одностороннегокритерия эта вероятность будет равна

.

Таким образом, вероятность отвергнуть ошибочную гипотезу в случае, когдав действительности, равна

—при использовании двухстороннего критерия,

—при использовании одностороннего критерия;

две последние величины представляют собой мощности соответствующих критериев при частной альтернативе.

Односторонний критерий имеет более высокую мощность — противу двухстороннего критерия —при той же вероятности ошибочного отклонения нулевой гипотезы, равной. Такое же положение будет, если в действительностии значениевходит в множество значений параметра, составляющихальтернативнуюгипотезу(т. е.). Это говорит опредпочтительности одностороннего критерия по сравнению с двухстороннимпри использовании в качестве альтернативной гипотезы .