Статистика практикум - Т.В. Ивашина

При симметричном распределении Еk = 0. Åñëè Åk > 0, распределение является островершинным; если Еk<0 — плосковершинным.

Критерии согласия. Количественная характеристика соответствия может быть получена с помощью особых статистических показателей — критериев согласия. Известны критерии согласия К.Пирсона (хи-квадрат), В.И.Романовского, Б.С.Ястремского и А.Н.Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона ( χ 2 ) вычисляется по формуле

ãäå fý è fò — эмпирические и теоретические частоты соответственно.

С помощью величины c2 по таблицам приложения определяется вероятность Р (c2). Входами в таблицу являются значения c2 и число степеней свободы g = n -1. На основе Р выносится суждение о существенности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки. При Р Î(0,2; 0,5) совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях — недостаточное.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются показатели особого рода, которые можно назвать структурными средними.

Характеристики вариационного ряда. Мода — значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана — значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значе- ние варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Для интервальных вариационных рядов мода определя-

3 1

ãäå x Mo — нижняя граница значения интервала, содержащего моду; i Mo — величина модального интервала; f Mo— частота модального интервала; f Mo-1— частота интервала, предшествующего модальному, f Mo+1- — частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле

ãäå x Me — нижняя граница значения интервала, содержащего медиану; i Me — величина медианного интервала; Sf — сумма частот; S Me-1 — сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; f Me — частота медианного интервала.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти зна- чение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, десять или сто частей. Эти величины называются квартили, децили и перцектили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q3), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% единиц будут заключены между Q1 è Q2; 25% — между Q2 è Q3 и остальные 25% превосходят Q3. Средним квартилем Q2 является медиана. Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

3 2

ãäå x Q1 — нижняя граница интервала, содержавшего нижний квартиль (интервалопределяетсяпонакопленнойчастоте,первой превышающей 25%);

x Q3 — нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

S Q1-1 — накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S Q3-1 — то же для верхнего квартиля;

f Q1 — частота интервала, содержащего нижний квартиль; f Q3 — то же для верхнего квартиля.

Задачи и упражнения

1. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными:

Вычислите: а) размах вариации; б) среднее линейное отклонение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) относительные показатели вариации возраста студентов.

2. Определите среднюю длину пробега автофургона торго- во-посреднической фирмы и вычислите все показатели вариации, если известны:

3. Имеется следующий ряд распределения телеграмм, принятых отделением связи, по числу слов:

3 3

Рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации.

4. Средняя урожайность зерновых культур в двух районах за 1991 — 1995 гг. характеризуется следующими данными, ц/га:

Рассчитайте все показатели вариации. Определите, в каком районе урожайность зерновых культур более устойчива.

5. Имеются следующие данные выборочного обследования студентов одного из вузов:

Рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации.

6.Средняя величина признака в совокупности равна 19, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака —

397.Определите коэффициент вариации.

7.Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индивидуальных его значений — 130. Чему равна средняя?

3 4

8.Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение — 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.

9.Средний квадрат отклонений индивидуальных значе- ний признака от их средней величины равен 100, а средняя —

15.Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 10 и 25.

10.Если дисперсия равна 20 000 единицам, а коэффициент вариации — 30%, то каков будет средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 250 единицам?

11.По данным таблицы о распределении пряжи по крепости нити вычислите все виды дисперсий. Определите общую дисперсию по правилу сложения дисперсий.

12. Товарооборот по предприятиям общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

Определите все виды дисперсий товарооборота предприятий общественного питания.

13. Распределение основных фондов по малым предприятиям отрасли характеризуется следующими данными:

3 5

Рассчитайте коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

14. Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поставок, по цехам предприятия представлено следующими данными:

Вычислите: а) среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию дисперсии доли экспортной продукции; б) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

15. Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 1996 г. характеризуется следующими данными:

Определите показатели асимметрии и эксцесса распределения магазинов по размеру товарооборота. Сделайте выводы.

16. Результаты экзамена по статистике в одной из студен- ческих групп представлены в таблице:

3 6

Найдите модальный и медианные баллы успеваемости студентов.

17. С целью исследования качества деталей на предприятии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в следующей таблице:

Определите моду, медиану, квартили и децили.

ВЫБОРОчНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Методические указания

Тема "Выборочное наблюдение" является одной из центральных в курсе теории статистики. Это обусловлено прежде всего взаимосвязью данной темы с другими темами, в особенности, со статистическим наблюдением, статистическими показателями, таблицами, графиками и др. Поэтому освоение теорети- ческого материала, умение правильно решать практические задачи по данной теме, грамотно интерпретировать полученные результаты служит необходимым условием успешного изуче- ния курса теории статистики в целом и связанных с ней наук.

Формирование набора задач обусловлено практическими вопросами, требующими своего решения при организации выборочного наблюдения и анализе его результатов. Такими вопросами являются определение способа выбора и процедуры выборки, вычисление ошибок выборки, построение доверительных интервалов выборочных характеристик, а также расчет необходимого объема выборки. Предложенные в данной теме задания охватывают все эти вопросы с учетом особенностей формирования выборочной совокупности.

3 7

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения — оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности. Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида ошибок связаны следующим соотношением:

∆ = tµ ,

ãäå D — предельная ошибка выборки; m — средняя ошибка выборки; t — коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Так, при случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле

ãäå s— выборочная (или генеральная) дисперсия; s2 — выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение; n — объем выборочной совокупности; N — объем генеральной совокупности.

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

x − ∆ ≤ x≤ +x ∆ ,

xx

ãäåx è x — генеральная и выборочная средние соответственно,

∆— предельная ошибка выборочной средней.

x

3 8

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

n

выборочной совокупности, определяемая как отношение коли- чества соответствующих единиц к объему выборки.

Тогда, например, при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:

Соответственно, при бесповторном отборе

Пределы доли признака в генеральной совокупности р выглядят следующим образом:

w − ∆ w ≤ p≤ +w ∆ w.

Ошибки и пределы генеральных характеристик при других способах формирования выборочной совокупности определяются на основе соответствующих формул, отражающих особенности этих видов выборки. Например, в случае типической выборки показателем вариации является средняя из внутригрупповых дисперсий, при серийной выборке — межгрупповая (межсерийная) дисперсия и т.д. Кроме того, в последнем случае вместо объема выборочной совокупности n используется показатель числа серий r.

3 9

Следовательно, для типической выборки средняя ошибка вычисляется по формулам:

— при отборе, пропорциональном объему типических групп

— при отборе, пропорциональном вариации признака (не пропорциональных объему групп):

где R — число серий в генеральной совокупности; σ 2 = ∑ (xi − x)2 r

4 0