Статистика практикум - Т.В. Ивашина

= сумарное значение или объем осредняемого приз

ÈÑÑ

число единиц или объем совокупности

Для каждого показателя, используемого в социально-эко- номическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение средней. Однако от того, в каком виде представлены исходные данные, зависит, каким именно образом исходное соотношение средней будет реализовано.

Наибольшее распространение в статистике получили средние степенные, которые определяются по следующей формуле:

n

ãäå xi — варианты усредняемого признака, n — число единиц совокупности

При k =-1 имеем среднюю гармоническую, при k® 0 — среднюю геометрическую, при k = 1 — среднюю арифметическую, при k = 2 — среднюю квадратическую, при k = 3 — среднюю кубическую.

Все средние могут рассчитываться как незавершенные или

взвешенные по формуле:

∑n xi fi

ãäå fi — веса вариант, т.е. число единиц, обладающих тем или иным значением признака.

Задачи и упражнения

1. Имеются следующие данные о производстве бумаги в Республике Беларусь:

2 1

Вычислите относительные показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения. Проверьте их взаимосвязь.

2.Фактический объем экспорта производственного объединения (ПО) за январь-октябрь 1997 г. составил 959,6 тыс. долл., а за соответствующий период 1998 г. — 802,9 тыс. долл. Руководством ПО в плановом задании было определено увели- чить объем экспорта на 9%. Рассчитайте относительные показатели реализации плана и динамики объема экспорта на ПО.

3.Имеются следующие данные о внешнеторговом обороте Республики Беларусь со странами дальнего зарубежья и СНГ, млн. долл.:

Вычислите относительные показатели структуры и координации.

4. Численность врачей и численность постоянного населения в РБ характеризуется следующими данными (на конец года, тыс. чел.):

5. Имеются следующие данные об объемах производства продукции черной металлургии в РБ (тыс. т.):

Рассчитайте относительные показатели уровня экономи- ческого развития с учетом численности населения РБ, которое составляло (на конец года, тыс. чел.): в 1993 — 10319; в 1994

—10297; â 1995 — 10264; â 1996 — 10236.

6.Имеются данные о распределении безработных по продолжительности безработицы:

2 2

Рассчитайте среднюю продолжительность безработицы в РБ.

7.В Гродненской области планировалось увеличить объем экспорта за январь-октябрь 1998 г. на 9,2%. Фактический объем экспорта за данный период составил 88,8% от планового задания. Рассчитайте относительный показатель динамики объема экспорта Гродненской области.

8.Абсолютный размер ВВП Беларуси в 1996 г. составил 179820 млрд. руб., а численность населения республики на конец 1995 г. составляла 10264 тыс. чел., н конец 1996 г. — 10236 тыс. чел. Рассчитайте показатель уровня экономического развития.

9.На конец 1996 г. в Республике Беларусь было зарегистрировано 182,5 тыс. безработных, а число заявленных предприятиями вакантных мест 15,8 тыс. Рассчитайте численность безработных, приходящихся на одно вакантное место, и определите, к какому виду относительных показателей принадлежит данная величина.

10.Имеются следующие данные об успеваемости студентов вуза:

Определите долю отличников в общей численности студентов вуза.

2 3

11. Имеются следующие данные по фермерским хозяйствам области:

Определите среднюю себестоимость 1 ц свеклы в целом по фермерским хозяйствам области.

12. Производственная деятельность одного из объединений за месяц характеризуется следующими данными:

Определите средние затраты на 1 усл. руб. произведенной продукции в целом по объединению.

13. По трем районам города имеются следующие данные (на конец года):

Определите средний размер вклада в банке в целом по городу.

14. Качество продукции предприятия характеризуется следующими данными (за месяц):

2 4

Определите средний процент брака в целом по предприятию. 15. По результатам обследования сельхозпредприятий

области получены следующие данные:

Определите средний надой молока на одну корову и среднюю жирность молока.

7.В отделе заказов торговой фирмы заняты трое работников, имеющих 8-часовой рабочий день. Первый работник на оформление одного заказа в среднем затрачивает 14 мин., второй — 15, третий — 19 мин. Определите средние затраты времени на 1 заказ в целом по отделу.

8.Использование складских помещений города характеризуется следующими данными:

Вычислите средний процент загрузки.

2 5

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И АНАЛИЗ чАСТОТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Методические указания

Исследование вариации в статистике и социально-эконо- мических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации

âзависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущность и значение измерения вариации признаков. Следует также усвоить, что изучение вариации признаков общественных явлений находится в прямой связи с группировками,

âчастности, с рядами распределения. Очень важно научиться свободно исчислять все показатели вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака:

ãäå õmax — наибольшее значение варьирующего признака; хmin — наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение (Д) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

2 6

ãäå xi — i-й вариант осредняемого признака, fi — вес i-го варианта.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней вели- чины. Дисперсия вычисляется по формулам простой невзве-

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:

Среднее квадратическое отклонение — величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):

коэффициент осцилляции: VR = R 100%, x

2 7

Правило сложения дисперсии. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неуч- тенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следую-

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и

межгрупповых дисперсий:

σ 2 = δ x2 + σ i2.

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникаю-

2 8

щая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением и рассчитыва-

Наряду с вариацией индивидуальных значений признака вокруг средней может наблюдаться и вариация индивидуальных долей признака вокруг средней доли. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа следующих видов дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

Формула межгрупповой дисперсии имеет вид:

ãäå ni — численность единиц в отдельных группах; р — доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле

Общая дисперсия имеет вид:

σ 2p = p (1− p) .

Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:

2 9

σ 2p = σ 2pi + δ p2 .

Данное соотношение дисперсий называется теоремой сложения дисперсии доли признака. Эта теорема широко используется в изучении колеблемости качественных признаков.

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и оценку его симметричности, остроили плосковершинности. Симметрич- ным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В статистике для характеристики асимметрии пользуются несколькими показателями.

Показатели асимметрии и эксцесса. Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии:

As = x −σ M o ,

ãäå x — средняя арифметическая ряда распределения; Ìî — ìîäà, σ — среднее квадратическое отклонение.

При симметричном (нормальном) распределении x = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если Аs > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.

Åñëè Às < 0, òî x меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от -3 до +3.

В практических расчетах часто в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента

Это дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 — незначительная.

Для симметричных распределений может быть также рас- считан показатель эксцесса:

EK = σµ 44 − 3.

3 0