Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Методы и средства оперативного анализа случайных процессов - Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Рисунок 28 – Метрологический подход к определению частотного диапазона

Sн −δ = S(w);

γ = 5 −10%

1− δ = S(w) .

Sн Sн

1−γ = S(w) ;

Sн

(1.154)

Этот способ дает заниженные значения эквивалентной ширины спектра мощности.

В зависимости от того, в каком соотношении находятся между собой w0 и ширина спектра, различают два типа сигналов:

Широкополосные, у которых ширина частотного диапазона значительно превышает значение основной частоты: ∆wc >> w0 ;

Узкополосные, у которых основная частота намного больше эквивалентной ширины спектра мощности.

Укажем здесь еще одно свойство всех стационарных случайных процессов, которое носит название соотношения неопределенности.

Произведение интервала корреляции случайного сигнала на эквивалентную ширину спектра его есть величина постоянная, значение которой зависит от способов задания этих характеристик:

τk ∆wc = const .

(1.155)

Например, рассмотрим широкополосный сигнал с нулевой основной частотой w0 = 0, тогда SH = S(0). Мы знаем, что

∆wc =	∞∫S(w)dw	=	Dx	,
	0
	2Sн
w0=0,			Sн

S(w) =

∞∫Rx (τ) cos(wτ)dτ ,

∞

Dxτx

S(0) =

∫Rx (τ)dτ =

∫ρx (τ)dτ =

= Sн

∆wc =

Dxπ

; тогда ∆wcτk =

π .

2Dxτk

2τk

Рассмотрим теперь некоторые специальные виды сигналов.

Полосовые шумы

Полосовым шумом называется сигнал, СПМ которого постоянна на заданной полосе частот, а вне ее равна нулю (в соответствии с рисунками 29

и 30).

w0 – частота, делящая частотный диапазон пополам:

w0 = wн + wв ; 2

Рисунок 29 – Спектр узкополосного сигнала

Рисунок 30 – Спектр широкополосного сигнала

S0 – интенсивность шума.

Основной частотой широкополосного сигнала считается нулевая частота.

Рассмотрим узкополосный шум. Выразим его интенсивность через дисперсию:

∆wc S0 = Dx

S0 = ∆x =

2 wc

- это площадь прямоугольника на рисунке 29,

Dx .

2(wd − wн )

Рассмотрим функцию корреляции полосового шума.

Rx (τ) = ∞∫S(w) cos(wτ)dw = 2∞∫S(w) cos(wτ)dw =

−∞

wв

= 2 ∫S(w) cos(wτ)dw = 2 ∫S0 cos(wτ)dw =

wн

wв

sin(wτ)

∫cos(wτ)dw =

2(w

− w

)

− w

+ w

sin

τ cos

τ(wв

− wн )

но

wв − wн = ∆wc ,

(wв

+ wн ) / 2 = w0 , тогда

∆w

Rx (τ) = Dx

sin

c τ cos(w0τ) ,

∆wcτ

или

∆w

sin

Rx (τ) = Dx

cos(w0τ) .

(1.156)

∆w

АКФ полосового шума имеет колебательный, затухающий характер. Рассмотрим вопрос: при каких условиях отсчеты шума будут некоррелированными? АКФ будет равной нулю, когда либо синус, либо косинус равны нулю:

∆w			= 0 , когда	∆w
а) sin	2	c τ	= 0 , когда	c τ = kπ ,
	2			2

k=1,2……(при k =0 значения АКФ равно единице);

τ = 2kπ / ∆wc ;

w = 2πf ;

∆wc

= 2π∆fc ,τ = k / ∆fc .

(1.157)

Таким образом, отсчеты шума будут некоррелированными, если их

брать через интервал 1/ ∆fC:

б) cos(w0τ) = 0; w0τ = (2k +1)π / 2,

k = 0,1,2,....

τ =

(2k +1)π

; w = 2πf ;

2w0

τ =

(2k +1)π

2k1

(1.158)

2 * 2πf0

4 f0

Найдем шаг по аргументу:

2k +1

−

(2k +1) +1

2k +1− 2k + 2 −1

(1.159)

4 f0

2 f0

Таким образом, получены два шага дискретизации, при которых отсчеты сигнала становятся некоррелированными. Из них надо брать тот, который имеет наименьшее значение, для узкополосных сигналов это - 1 /2f0

– наименьший шаг, при котором отсчеты некоррелированны. Рассмотрим теперь широкополосный шум.

wн = 0;

wв = ∆wc .

Для определения АКФ сигнала воспользуемся формулой для функции корреляции узкополосного шума (1.156), положив wH = 0.

R	(τ) =	Dx	sin(w τ) = D		sin(∆wcτ)
R	(τ) =	w τ	sin(w τ) = D	x ∆w τ
x		w τ	в	x ∆w τ
		в			c

sin(∆wcτ) = 0
∆wcτ = kπ; τ =	kπ	=	kπ		=	k		.
	∆w τ		2π∆f
				c		2 f	c
	c

Шаг дискретизации по времени для получения некоррелированных отсчетов составляет

∆t =	1	.	(1.160)

	2∆fc

Белый шум

Белый шум – это такой стационарный случайный сигнал спектральная плотность мощности которого постоянна на любой частоте (в соответствии с рисунком 31).

Рисунок 31 – Спектр белого шума

Понятие белого шума аналогично понятию белого света, содержащего все спектральные составляющие. Белый шум представляет собой математическую абстракцию, так как площадь под прямой S(w0) = S0 бесконечна (а следовательно, бесконечна и дисперсия, т.е. полная мощность сигнала).

Rx (τ) = ∞∫S(w) exp( jwτ)dw = S0				∞∫exp( jwτ)dw =
	−∞			−∞
	1	∞	= 2πS0δ(τ) .
= 2πS0		∫exp( jwτ)dw
= 2πS0	2π	∫exp( jwτ)dw
	2π	−∞

2πS0=N - интенсивность белого шума (как уже отмечалось, о мощности белого шума говорилось бессмысленно).

Итак, корреляционная функция белого шума имеет вид

Rx (τ) = Nδ(τ) ,

(1.161)

по виду АКФ совпадает с дельта – функцией, и все ее свойства аналогичны свойствам дельта – функции:

0,τ ≠ 0 .

Rx (τ) = ∞,τ = 0

Отсчеты сигнала, являющегося белым шумом, взятые с любым шагом дискретизации, отличным от нуля, всегда некоррелированны. То есть, если имеется возможность генерировать белый шум, то не представляется

сложным получать последовательность случайных величин, не корелированных во времени.

Если СПМ случайного сигнала постоянна в широком диапазоне частот, перекрывающем полосу пропускания динамической системы, то по отношению к этой данный сигнал можно принять за белый шум.

Иногда для на практике вводится нормированная СПМ:

Sн (w) =	S(w)	(1.162)
	Dx

по аналогии с нормированной АКФ.

			∞
	Rx (τ) =		∫S(w) exp( jwτ)dw
			−∞
		1	∞
S(w) =		1	∫	Rx (τ) exp(− jwτ)dτ.
S(w) =				Rx (τ) exp(− jwτ)dτ.
		2π
		2π	−∞

Разделим левую и правую части на DX , получим:

			∞
	ρx (τ) = ∫Sн (w) exp( jwτ)dw
		−∞
		1		∞
		1		∫ρx (τ) exp(− jwτ)dτ.
Sн (w) =
Sн (w) =		2π
		2π		−∞

То есть нормированные СПМ и АКФ связаны между собой той же парой преобразований Фурье, что и ненормированные характеристики.

Все свойства нормированной спектральной плотности полностью аналогичны свойствам СПМ (четная, неотрицательная), кроме условия нормировки:

∞∫Sн (w)dw =1.

−∞

Неканоническая модель стационарного случайного сигнала (по Чернецкому)

Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), который попытаемся описать моделью X(t), определяемую критериями

M[X (t)] = M[X M (t)],	(1.163)
D[X (t)] = D[X M (t)] ,	(1.164)
Rx (τ) = RM (τ) .	(1.165)

Модель стационарного случайного процесса можно предположить в следующем виде:

X (t) = mx + b1 sin(wt) + b2 cos(wt) ,

(1.166)

где b1, b2 , w – центрированные, независимые случайные величины. Эту модель можно представить в виде


X (t) = mx +	2	2		b1
X (t) = mx +	b1	+ b2	*sin wt + arctg b		.
				2

То есть, случайный процесс представляет аддитивную смесь постоянной составляющей и суммы гармоник со случайными амплитудами, частотами и фазами.

В данной модели компактность достигается за счет того, что частота носит случайный характер. В этом и заключается ее основное отличие от канонической модели Пугачева.

Для центрированного случайного сигнала модель имеет вид.

X M (t) = b1 sin(wt) +b2 cos(wt) .

Найдем дисперсию модели

	0 2	;
DM = M X m (t)		;

X M (t) = b12 sin 2 (wt) + 2b1b2 sin(wt) cos(wt) + b22 cos2 (wt) =

=b12 sin 2 (wt) +b1b2 sin(2wt) + b22 cos2 (wt) =

=b12 sin 2 (wt) + b1b2 sin(2wt) + b22b22 sin(wt) =

=(b12 −b22 )sin 2 (wt) + b22 + b1b2 sin(2wt).

Всоответствии с этой формулой находим дисперсию:

DM = M [(b12 −b22 )]* M [sin 2 (wt)]+ M [b22 ]+ M [b1 ]* M [b2 ]* M [si]
{M [b12	]− M [b22 ]}* M [sin 2 (wt)]+ M [b22 ]+ 0
т.к b1 и b2	центрированны.
Должно выполняться условие: DM = DX, то есть
{M [b12	]− M [b22 ]}* M [sin 2 (wt)]+ M [b22 ]= Dx .	(1.167)
		77

Левая часть не должна зависеть от времени. Это выполняется, когда , M [b12 ]= M [b22 ], тогда M [b22 ]= Dx , таким образом

M [b12 ]= M [b22 ]= Dx .

То есть, случайные величины, входящие в модель Чернецкого могут быть любыми, но непременно центрированными и с равными дисперсиями, которые, в свою очередь, должны быть равными дисперсии моделируемого сигнала.

Напомним еще об одном требовании, которому должна удовлетворять модель – равенства корреляционных функций исследуемого сигнала и модели:

Rx (τ) = RM (τ)
		0	0
RM (τ) = M X M (t) X M (t −τ) ;

0
X M (t) = b1 sin(wt) + b2 cos(wt);
0
X M (t −τ) = b1 sin(w(t −τ)) + b2 cos(w(t −τ));
0	0	−τ) = b2		sin(wt)sin(w(t −τ)) + b b		sin(wt) cos(w(t −τ))
X M (t) X M (t		−τ) = b2		sin(wt)sin(w(t −τ)) + b b	2	sin(wt) cos(w(t −τ))
			1	1	2

+b1b2 cos(wt)sin(w(t −τ)) + b22 cos(wt) cos(w(t −τ)) RM (τ) = M [b12 ]M [sin(wt)sin(w(t −τ))]+

+M [b1 ]M [b2 ]M [sin(wt) cos(w(t −τ))]+

+M [b1 ]M [b2 ]M [cos(wt)sin(w(t −τ))]+

M [b22 ]M [cos(wt) cos(w(t −τ))].

Но так как b1 и b2 являются центрированными случайными величинами, то их математическое ожидания равны нулю, и тогда

RM (τ) = M [b12 ]M [sin(wt)sin(w(t −τ))]+

+ M [b22 ]M [cos(wt) cos(w(t −τ))]=

=Dx M [sin(wt)sin(w(t −τ))]+ Dx M [cos(wt) cos(w(t −τ))]=

=Dx M [cos(wt)].

Следует отметить, что данные функции корреляции удовлетворяют условию стационарности (не зависят от времени, но лишь от временного сдвига между сечениями процесса) и имеет одинаковую с исследуемым сигналом дисперсию.

Rx (τ) = Dx M [cos(wτ)].

(1.168)

Зададимся теперь вопросом, как правильно выбрать значение частоты w?

Параметры же b1 и b2 выбираются из условия равенства дисперсий оцениваемого сигнала и модели.

Для этого разделим левую и правую части выражения для АКФ на DX.

ρx (τ) = M [cos(wτ)].

Пусть f(w) – плотность вероятности распределения случайной величины w, тогда

M [cos(wτ)]= ∞∫ f (w) cos(wτ)dw .

−∞

Но нормированная АКФ равна

ρx (τ) = ∞∫ f (w) cos(wτ)dw .

−∞

Из этого интегрального уравнения можно найти плотность распределения f(w) случайной величины w.

Однако, памятуя о том, что нормированная спектральная плотность стационарного случайного процесса и его нормированная АКФ связаны друг с другом парой преобразований Фурье:

1 ∞

Sн (w) = 2π −∫∞ρx (τ) cos(wτ)dτ Rx (τ) = Dx M [cos(wτ)].

Корреляционная функция не зависит от выбора параметров b1 и b2, но лишь от случайной частоты w. Напрашивается вывод о том, что плотность распределения случайной величины w численно должна быть равна

f (w) = S(w) .

(1.169)

То есть, случайные величины b1 и b2 и w, входящие в модель Чернецкого, должны представлять собой центрированные и независимые случайные величины. При этом дисперсии величин b1 и b2 должны быть равными друг другу и равны дисперсии исследуемого сигнала.

Плотность распределения случайной величины w должна быть при этом равна нормированной спектральной плотности моделируемого сигнала.

Математическое описание систем случайных сигналов в частотной области

Пусть имеем два стационарных случайных сигнала X(t) и Y(t). Каждый из них характеризуется своей корреляционной функцией

Для описания свойств системы сигналов в частотной области используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:

S yx (w) =	1	∞∫Ryx (τ) exp(− jwτ)dτ .	(1.170)

	2π −∞

Рассмотрим свойства ВСП:

S yx (w) =	1	∞∫Ryx (τ) cos(wτ)dτ − j	1	∞∫Ryx (τ)sin(wτ)dτ .	(1.171)

	2π −∞		2π −∞

Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.

Re Sxy (w) =	1		∞∫Ryx (τ) cos(wτ)dτ	- вещественная часть ВСП,

	2π −∞
Im Sxy (w) =	1	∞∫Ryx (τ)sin(wτ)dτ		- мнимая часть ВСП.

	2π −∞

Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая – нечетной функцией частоты.

S yx (w) = Re S yx (w) − j Im S yx (w) = S yx (w) exp(− jϕ(w)),

где

S yx (w) = Re2 S yx (w) + Im2 S yx (w) - амплитудно – частотный спектр сигнала, четная функция частоты,

ϕ(w) = arctg Im S yx (w) - фазо-частотный спектр.

Re S yx (w)

Вформуле (1.170) вместо w подставим - w:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика