Методы и средства оперативного анализа случайных процессов - Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н
.pdf
|
|
∞ |
|
|
|
X (t) = Ф+ ∑(U k cos(kwt) +Vk sin(kwt)) = |
|
||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
= Ф+ ∑(Ak sin(kwt +ϕk )) , |
|
|
|||
где |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak = |
2 |
2 |
; |
Vk |
|
U k |
+Vk |
ϕk = arctg |
. |
||
|
|
|
|
U k |
Любой стационарный случайный сигнал может быть представлен в виде бесконечного ряда тригонометрических функций со случайными амплитудами и фазами.
Определим дисперсию к-й гармоники:
Dk = M [{U k cos kwt +Vk sin kwt}]=
= cos2 (kwt)M [U k2 ]+ 2sin(kwt) cos(kwt)M [U kVk ]+
= sin 2 (kwt)M [Vk2 ]. |
(1.126) |
Дисперсия Dx характеризует мощность к-й гармонической составляющей канонической модели сигнала.
Зависимость величины Dk от частоты получила название спектра случайного сигнала или спектра мощности случайного сигнала или энергетического спектра.
Dk |
= |
1 T |
Rx (τ) cos kwτ dτ |
|
||||
|
|
|
||||||
T −∫T |
|
|||||||
|
|
|
D0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞ |
|
||
Rx |
(t,t1 ) = |
|
+ ∑Dk cos(kw(t −t1 )) . |
(1.127) |
||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
Спектр случайного сигнала, ограниченного во времени, имеет линейчатых дискретный характер, он определен на строго фиксированных частотах.
Спектр обладает следующими основными свойствами.
1.Он неотрицателен Dk=>0.
2.Представляет собой четную функцию k: Dk=D-k
61
Рисунок 25 – Энергетический спектр случайного сигнала
3. Положим τ=0
Dx = D0 + ∑∞ Dk ,
2 k =1
то есть энергия (мощность) всего сигнала складывается из мощности (энергии) постоянной составляющей и всех гармоник.
4.Рассмотрим, как ведет себя дисперсия к-й гармоники при неограниченном увеличении промежутка времени Т.
Dk |
= |
1 |
T∫ |
|
Rx (τ) |
|
dτ = |
2 |
T∫ |
|
Rx (τ) |
|
dτ < |
2Dx |
T∫ |
|
ρx (τ) |
|
dτ = |
2Dx |
τk , |
(1.128) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
T −T |
|
|
|
|
T 0 |
|
|
|
|
T |
0 |
|
|
|
|
T |
|
где τk = T∫ ρx (τ) dτ - интервал корреляции процесса X(t).
0
То есть, Dk < 2TDx τk - при увеличении Т дисперсия гармоники убывает.
5.Как видно из равенства (1.128) предел дисперсии при неограниченном увеличении Т равен нулю
lim Dk = 0 . |
(1.129) |
T →∞ |
|
Рассмотрим, к чему стремится дисперсия при неограниченном росте порядкового номера гармоники к.
Обозначим: kwτ = χ, χв = kwT = kπ, χн = −kπ ,
τ = |
|
χ |
|
, dτ = |
dχ |
|
= |
T |
dχ, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
kw |
kπ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
kw |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 kπ |
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D |
|
= |
|
|
|
|
R |
|
|
|
cos χdχ, |
lim D |
|
= 0. |
|||||
|
kπ −∫kπ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
k |
|
|
|
x kπ |
|
|
k→∞ |
k |
|
при больших к
62
Dk = k1π k∫πcos(χ)dχ .
−kπ
То есть, при больших к энергетический спектр затухает. Рассмотрим вопрос определения полосы частот сигнала.
В основу определения частотного диапазона кладется энергетический подход, то есть под полосой частот подразумевает такая, в которой сосредоточена практически вся энергия (мощность) сигнала, а именно –
95 %.
N
X M (t) = ∑Ak sin(kwt +ϕk )
k =m
wн = mw; wв = Nw .
Таким образом, верхняя и нижняя границы полосы частот при известных m и N легко определяются. Ширина спектра при
∆w = (N − m)w
N
DM = ∑Dk - мощность сигнала в полосе частот.
k =m
Отсюда ищутся m и N. Но непосредственно таким подходом воспользоваться нельзя, нужны другие способы. Например, предположим, что потери энергии на частотах от 0 до m-1 и от N+1 до ∞ равны, тогда:
D0 |
m−1 |
|
|
+ ∑Dk = 0.025Dx, |
(1.130) |
||
2 |
|||
k =1 |
|
отсюда определяют m:
∞
∑Dk = 0.025Dx ,
k =N +1
из этого выражения можно найти N, но вычислить сумму бесконечного ряда неудобно, поэтому часто прибегают к такому подходу:
|
D0 |
N |
∞ |
|
Dx = |
+ ∑Dk + ∑Dk , |
|||
2 |
||||
|
k =1 |
k =N +1 |
это мощность всего сигнала;
∞ |
D0 |
N |
|
|
∑ Dk = Dx − |
− ∑Dk = 0.025Dx . |
(1.131) |
||
2 |
||||
k =N +1 |
k =1 |
|
63
Этим уравнением для определения N воспользоваться проще, для этой цели можно применить и такое выражение:
|
D0 |
N |
|
|
0.975Dx = |
+ ∑Dk . |
(1.132) |
||
2 |
||||
|
k =1 |
|
Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени
Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), рассматриваемый на интервале времени 0≤t<∞.
Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии к-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.
|
|
|
D0 |
∞ |
∞ |
Dk |
|
||||
Rx (τ) = |
+ ∑ |
Dk |
e jkwτ + |
∑ |
e− jkwτ = |
||||||
2 |
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
k =1 2 |
k =1 |
|
||||||
∞ |
|
∞ |
|
|
|
||||||
= ∑ |
Dk |
e jkwτ + ∑ |
Dk |
e− jkwτ |
|
|
|
||||
k =0 2 |
|
k =1 2 |
|
|
|
Заменим во второй сумме к на -к:
∞ |
Dk |
−1 |
D−k |
|
|
Rx (τ) = ∑ |
e jkwτ + ∑ |
e jkwτ |
|||
2 |
2 |
||||
k =0 |
k =−∞ |
|
но Dk=D-k. Тогда
∞ |
Dk |
−1 |
D−k |
∞ |
Dk |
|
|
|
∑ |
e jkwτ + ∑ |
e jkwτ = ∑ |
e jkwτ |
(1.133) |
||||
2 |
2 |
2 |
||||||
k =0 |
k =−∞ |
k =−∞ |
|
|
Таким образом частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену:
|
|
∞ |
Dk |
|
|
|
Rx (τ) = ∑ |
e jk∆wτ . |
(1.134) |
||||
2 |
||||||
|
|
k =−∞ |
|
|
||
В свою очередь |
|
|
|
|||
Dx = |
1 |
T∫Rxτ) cos(k∆wτ)dt . |
(1.135) |
|||
|
||||||
|
T −T |
|
|
|
Найдем отношение
64
Dk |
= |
|
1 |
T∫Rx (τ) cos(k∆wτ)dτ = S * (k∆w) . |
(1.136) |
∆w |
|
||||
|
π −T |
|
Это – функция k∆w, обладающая свойствами:
S * (−k∆w) = S * (k∆w),
то есть S*(k∆w) - четная функция своего аргумента, кроме того, она неотрицательна.
Перейдем от Dk к введенной нами функции:
Dk = ∆wS * (k∆w) |
|
||||||
S * (k∆w) = |
|
1 |
T∫Rx (τ) cos(k∆wτ)dτ , |
(1.137) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
2 −T |
|
||
|
1 |
|
|
∞ |
|
||
Rx (τ) = |
|
∑S * (k∆w)eik∆wτ ∆w . |
(1.138) |
||||
|
|||||||
|
2 k =−∞ |
|
Устремим ∆w к нулю, а интервал времени Т к бесконечности. S*(k∆w) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется
спектральной плотностью.
Rx (τ)
S * (u)
= |
1 |
|
∞∫S * (u) exp( juτ)du |
|
|
2 |
|
(1.139) |
|||
|
|
−∞ |
|||
= |
|
1 |
∞ Rx (τ) cos(uτ)dτ. |
||
π |
|
||||
|
∫ |
|
|||
|
|
|
|
−∞ |
|
Вместо аргумента u и введем w:
|
1 |
|
∞ |
S * (w) exp( jwτ)dw |
|
|||
|
|
|
||||||
Rx (τ) = |
|
|
|
|
||||
2 −∞∫ |
|
|||||||
|
|
|
(1.140) |
|||||
|
1 |
|
∞ |
|
||||
S * (w) = |
|
∫ |
Rx (τ) cos(wτ)dτ. |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
||||
|
|
−∞ |
|
|
Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.
Для того чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье – преобразования от СПМ, переобозначим ее:
S(w) = |
S * (w) |
. |
(1.141) |
|
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
65 |
В формулах произойдут следующие изменения
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
||||
Rx (τ) = |
−∞∫ |
S * (w) exp( jwτ)dw |
|||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
(1.142) |
||||||||
|
|
1 |
|
∞ |
|
||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||
S * (w) = |
|
2π −∞ |
Rx (τ) cos(wτ)dτ. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим свойства новой спектральной плотности: |
|||||||||||
cos(wτ) = |
|
e jwτ |
+ e− jwτ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞∫Rx (τ) cos(wτ)dτ = |
1 |
∞∫Rx (τ) exp( jwτ)dτ + |
|||||||||
|
|||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 −∞ |
1 ∞
+ 2 −∫∞Rx (τ) exp(− jwτ)dτ .
В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т.к. Rx (τ) = Rx (−τ) , то
∞∫Rx (τ) cos(wτ)dτ = |
1 |
∞∫Rx (τ) exp(− jwτ)dτ + |
|||
|
|||||
−∞ |
|
|
2 −∞ |
||
+ |
1 |
∞∫Rx (τ) exp(− jwτ)dτ = ∞∫Rx (τ) exp(− jwτ)dτ , |
|||
2 |
|||||
|
−∞ |
|
−∞ |
то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
S(w) = |
1 |
∞∫Rx (τ) exp(− jwτ)dτ . |
(1.143) |
|
|||
|
2π −∞ |
|
Вывод: АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.
Сделаем подстановку: exp(jwτ)=cos(wτ) + jsin(wτ), тогда
Rx (τ) = ∞∫S(w) cos(wτ)dw + j ∞∫S(w)sin(wτ)dw ,
−∞ |
−∞ |
но так как СПМ является четной функцией, а синус – нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда
Rx (τ) = ∞∫S(w) cos(wτ)dw ,
−∞
66
|
|
|
∞ |
|
|
Rx (τ) = 2∫S(w) cos(wτ)dw |
|||
то есть: |
|
|
0 |
(1.144) |
|
1 |
∞ |
||
|
S(w) = |
∫ |
Rx (τ) cos(wτ)dw |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
Укажем некоторое свойства спектральной плотности мощности. Вопервых, СПМ является четной функцией своего аргумента
S(w) = S(−w) ,
во-вторых, спектральная плотность – неотрицательная функция:
S9w) ≥ 0 , |
|
и в третьих, вычислим дисперсию сигнала: |
|
Dx = Rx (0) = ∞∫S(w)dw . |
(1.145) |
−∞ |
|
То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это – условие нормировки.
Частотный диапазон сигнала и способы его определения
Под частотным диапазоном случайного сигнала понимают такую
полосу |
частот, |
в которой сосредоточена практически |
вся |
его |
мощность (95 %). |
|
|
|
|
Мощность сигнала – это его дисперсия, значит, в частотном диапазоне |
||||
содержит |
95 % |
дисперсии. Будем рассматривать только |
одну |
ветвь |
(в соответствии с рисунком 26).
Случайный сигнал будет содержать энергию, соответствующую площади заштрихованной фигуры.
w |
Dx |
|
|
|
∫в S(w)dw = 0.95 |
. |
(1.146) |
||
2 |
||||
wн |
|
|
||
|
|
|
67
Рисунок 26 – К вопросу об определении частотного диапазона сигнала
Однако это уравнение нельзя использовать для вычисления ширины спектра, так как в него входит два неизвестных.
Существует несколько способов определения частотного диапазона. Рассмотрим первый из них. Предположим, что потери энергии слева и справа от частотного диапазона одинаковы:
w |
Dx |
|
|
||
∫н S(w)dw = 0.025 |
|
(1.147) |
|||
2 |
|
|
|||
−∞ |
|
|
|
||
∞∫S(w)dw = 0.025 |
Dx |
. |
|
wв 2
S(w) – монотонная функция, т.е. решение единственно. Ширина частотного диапазона по его верхней и нижней границам:
∆wc = wв − wн .
Та частота, на которой спектральная плотность имеет максимум, называется основной частотой сигнала w0.
Если известна основная частота w0, то делается предположение о том, что спектр сигнала симметричен относительно этой частоты:
w |
|
= w |
+ ∆w |
/ 2 |
. |
(1.148) |
|
в |
0 |
c |
|
||
wн = w0 |
− ∆wc / 2 |
|
|
Тогда уравнение (1.146) примет вид
w |
+ |
∆wc |
|
|
|
|
|
0 |
∫2 |
|
Dx |
|
|
||
|
S(w)dw = 0.95 |
. |
(1.149) |
||||
|
2 |
||||||
w |
− |
|
∆wc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
68
В этом уравнении имеется единственное неизвестное – ∆wc – эквивалентная ширина спектра мощности, и так как СПМ – монотонная функция, то уравнение имеет одно решение.
Итак, для определения частотного диапазона необходимо следующее.
1.Определить основную частоту w0.
2.Решить уравнение и найти эквивалентную ширину спектра мощности.
3.Найти верхнюю и нижнюю границы частотного диапазона. Возможен и частотный случай, когда нижняя граничная частота равна
нулю, и приходится определять только верхнюю частоту диапазона:
w |
Dx |
|
|
|
∫в S(w)dw = 0.95 |
. |
(1.150) |
||
2 |
||||
0 |
|
|
Здесь единственное неизвестное – верхняя граничная частота, которая численно равна эквивалентной ширине частотного диапазона.
Наибольшее применение на практике получил формантный подход к определению частотного диапазона ∆wc .
Согласно этому подходу, вначале определяется ширина частотного диапазона. Под ней понимается величина основания прямоугольника (в соответствии с рисунком 27), построенного на оси частот и имеющего высоту, равную максимальному значению СПМ, а площадь – равную площади фигуры, ограниченной кривой спектральной плоскости.
Рисунок 27 – Формантный метод определения частотного диапазона
∆wc Sн = Dx
2
∆wc = Dx
2Sн
wн = w0 |
− |
∆wc |
|
(1.151) |
||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
wв = w0 |
+ |
|
∆wc |
. |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
Достоинством этого подхода является минимум вычислений. На практике часто используют его модификацию:
∆wc = |
D |
x |
= |
∞∫S(w)dw |
(1.152) |
|
0 |
||||||
2Sн |
2Sн |
|||||
|
|
|
или
∞∫S 2 (w)dw
∆wc = |
0 |
|
. |
(1.153) |
|
2Sн2 |
|||
|
|
|
|
Рассмотрим связь между этими двумя способами:
∞∫S 2 (w)dw = ∞∫S(w)S(w)dw ≤ Sн ∞∫S(w)dw
0 0 0
С учетом этого неравенства:
∆wc1 ≤ |
Sн ∞∫S(w)dw |
|
∆wc2 |
≤ |
∞∫S(w)dw |
, |
|
0 |
, |
0 |
|||||
Sн2 |
Sн |
||||||
|
|
|
|
|
но
∞∫S(w)dw
∆wc = |
0 |
|
, ∆wc1 ≤ ∆wc . |
|
|
||
|
|
2Sн |
Это справедливо для любых сигналов. Еще одним способом определения частотного диапазона является так называемый метрологический подход. При этом подходе под частотным диапазоном понимается такой, в котором СПМ S(w) незначительно отличается от своего наибольшего значения (в соответствии с рисунком 28).
Координаты пересечения линии, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на SH-δ , с кривой S(w) дают граничные частоты WH WB .
70