Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Методы и средства оперативного анализа случайных процессов - Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Дисперсия σ2 – собственное значение автокорреляционной матрицы, а вектор АРСС – параметров А – собственный вектор, про масштабированный так, чтобы первый элемент соответствующей ему матрицы был равен 1.

Уравнение (5.46) представляет собой основу гармонического разложения Писаренко.

При использовании рассматриваемого метода необходимо знать число синусоид и параметры модели (либо значения АКФ). Если же число синусоид неизвестно, то их количество следует определять при помощи нелинейных процедур (S). Следует отметить, что в настоящее время не существует рекурсивных методов решения уравнения (5.46), что приводит к значительным вычислительным затратам при технической реализации метода гармонического разложения. Кроме того, получаемые спектральные оценки очень чувствительны к шумам и обладают плохим разрешением. В обобщенном методе Прони модель случайного процесса представляет собой набор экспонент с произвольными амплитудами, фазами и коэффициентами затухания. Функция дискретного времени

€	p	b z	n	m	(5.47)

X n = ∑
	m =1	m

аппроксимирует измеренные значения X0, X1,…….Xn-1. В выражении

(5.47)

bm	= Am exp( jθm);	(5.48)
zm = exp(αm + jωm∆t),		(5.48)
zm = exp(αm + jωm∆t),

где Am – амплитуда, θь- коэффициент затухания, ωm – частота, ∆t - интервал дискретизации.

Определение параметров {Am ,θm ,ωm , ∆t} и р имитирующих ошибку

	N −1
ε =	∑	xn	− €	2	(5.49)

			xn

n=0

представляет собой сложную нелинейную задачу. Существует и субоптимальное решение, которое не обеспечивает минимума (5.49), но все же дает удовлетворительные результаты. Это решение основано на методе Прони, где на промежуточном этапе проводится отыскание корней полинома (что устраняет проблему нелинейности), а затем определяются необходимые коэффициенты.

Этот полином

161

p	p	p −1	(5.50)
∏	∑
		,a0 = 1
Ψ(z) = k = 1(z − zk ) = i = 0aiz

состоит из р экспонент, определяемых выражением (5.48). которые используются в качестве его корней и коэффициентов. Путем преобразований выражения (5.50) с учетом (5.47) получаем рекурсивное разностное уравнение

xn		p	(5.51)
xn		∑am xn−m ,	(5.51)
€	= −	€

m=1

сходное с аналогичным, используемым в методе гармонического разложения Писаренко. Если еn - ошибка аппроксимации, то

xn	xn		en	(5.52)
	=€	+

и (5.51) примет вид

xn		p		en		p		p	(5.53)
xn		∑am xn−m		en		∑amen−m		∑amln−m	(5.53)
€	= −	€	+		= −		+
		m=1				m=1		m=1

То есть, моделью суммы экспонент и аддитивного шума является АРСС – модель с одинаковыми АР и СС – параметрами, возбуждаемая шумом. Задача определения этих параметров остается такой же .

Для процесса, определяемого суммой р вещественных синусоид и шума (α=0), справедливо соотношение

bm zm ]

m ),

(5.54)

∑[bm zm

∑Am cos( n n

€ =

∆ +θ

m=1

где bm =

Am exp( jθm )

;....Zm = exp( jωm ∆t),

Zm – корни единичного модуля с частотами в виде комплексно –

сопряженных пар, которые появляются до тех пор, пока

fm =

ωm

≠ 0 или

2π

2∆t

Таким образом, необходимо

решить уравнение (5.50)

для

нахождения

корней полинома

2 p

Ψ(z) = ∏(z − zi )(z − zi* ) = ∑ak z2 p−k

(5.55)

i=1

k =0

162

Спектр сигнала представляется набором δ–функций, то есть zi =1 и

затухающих экспонент.

По сравнению с гармоническим разложением Писаренко метод Прони обладает некоторыми преимуществами:

1)не требуется знать оценки АКФ;

2)ложных спектральных линий меньше;

3)смещение оценок частоты и мощности меньше, чем при разложении Писаренко.

Но тем не менее, оценивание СПМ по этому методу носит резко не линейный характер, коэффициенты процесса определяются через корни полинома методом наименьших квадратов, необходимо определить порядок модели, а зависимость от уровня помех высока /5/.

Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона (ММП) осуществляется измерением мощности на выходе узкополосных фильтров /2/.

Различие между ММП и методом Блэкмана – Тьюки заключается в том, что форма частотной характеристики при ММП для каждой частоты различна, в то время как в методе Блэкмана – Тьюки она остается неизменной.

Фильтры, реализующие алгоритмы спектрального оценивания по ММП, относятся к фильтрам с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и имеют р весовых коэффициентов

A =[a0 ,a1 ,...an−1 ].

(5.56)

Коэффициенты фильтра выбираются так, чтобы на частоте анализа ω0

его реакция ровнялась бы единице, а дисперсия была минимальна.

То есть необходимо минимизировать дисперсию σ 2 выходного процесса

σ 2 AH Rx A

(5.57)

при единичной отклике фильтра на частоте ω0 (то есть синусоида с частотой ω0 проходит через фильтр без искажений)

E Н A = 1,	(5.58)
где Rx - ковариационная матрица X n , E	- вектор, определяемый
соотношением
E = [1 exp( jω0∆t)...exp[ j( p −1)ω0∆t]] ,

163

а индекс Н – означает транспонированную, комплексно – сопряженную матрицу.

Минимальная дисперсия равна:

σ 2 min =	1	(5.59)
	E H Rx−1E

Оценка СПМ при этом

S(ω	0	) =	∆t	.	(5.60)
			E H Rx E

Но для вычисления этой спектральной оценки необходимо знать: оценку автокорреляционной матрицы, что само по себе затруднительно. Кроме того, оценки по ММП обладают худшей разрешающей способностью, чем остальные, а погрешности оценивания все методов, рассмотренных в данном подразделе сопоставлять не представляется возможным в силу погрешности методов.

Несмотря на обилие разновидностей и известны преимущества (например, хорошая разрешающая способность в ряде случаев), рассмотренных методов СА, последние не нашли практического применения для спектрального анализа особенно в ходе научного эксперимента при испытаний. Все существующие в настоящее время приборы и измерительные системы СА используют методы периодограмм Шустера и Блэкмана-Тьюки, причем предпочтение отдается последнему.

Рисунок 43 – Спектральное и корреляционное окна Пугачева – Даниэля

5.2 Спектральное оценивание по методу Блэкмана – Тьюки

Методы Шустера и Блэкмана-Тьюки основаны на применении формул

164

		1	1	T	2

						,	(5.61)
S(ω) =	Lim M			∫ x(t)exp(− jωt)dt
		2T
	T → ∞		2π −T

где Т – интервал наблюдения, ω – частота анализа

	1	∞	(5.62)
S(ω) =		∫R(τ )exp(− jωt)dτ

	2π −∞

как основ для получения спектральных оценок. Для устранения статистической несостоятельности в указанных оценках используется метод, предложенный Барлеттом и Тьюки /4/, который предлагает проведение дополнительного сглаживания спектральных оценок вида

€	1					2
€	1					2
S(ω) =		2		M	A(ω)
	2π		T
€	1	T		€
S(ω) =	2π		∫ R(τ)cos(ωτ
	2π	0

)dτ

(5.63)

(5.64)

на ограниченных временных (частотных) отрезках при аналоговом оценивании или ограниченных выборках временных последовательностей при синтезе дискретных оценок СПМ.

В цифровой форме оценки (5.63) и (5.64) принимают вид соответственно

S€(ω ) =		∆ t		N − 1 N	− 1
				∑	∑ x
		π N		∑	∑ x
		π N		i = 0 k	= 0
€				N −1
€	∆t
S(ω) =			2	∑ R(k∆t
S(ω) =			2	∑ R(k∆t
	2π			k = 0
				k = 0

( i∆ t ) x ( k ∆ t ) exp[ − jω ( i − k ) ∆ t ],		(5.65)
€
€		(5.66)
)cos(kω∆t) − R(0) .		(5.66)

Согласно принятой классификации традиционные методы спектрального оценивания могут быть охарактеризованы следующим образом:

-оценки СПМ могут быть как аналоговыми, так и цифровыми;

-оценки строятся по реализации исследуемого процесса без предварительного

его моделирования; - оценки линейны относительно своих параметров;

165

h(τ)

g(ω)

-спектральные оценки получаются на ограниченных интервалах времени;

-оценивание СПМ может производиться как по имеющейся оценке АКФ

процесса, так и непосредственно по его реализации.

Упомянутая выше процедура дополнительного сглаживания оценки /4/ эквивалентна умножению в преобразовании Фурье на некоторую весовую функцию – спектрального или корреляционного окна.

Приведенная характеристика оценок СПМ, получаемых традиционными методами, будет в дальнейшем продолжена путем рассмотрения метрологических характеристик спектральных оценок, получаемых с помощью разного вида окон. Для обеспечения единства подхода в качестве критерия отличия получаемых оценок от истинностных значений СПМ, с помощью которого будут сравниваться различные оценки СПМ, станем использовать один и тот же среднеквадратический критерий

δ	2		€	2	2	€	(5.67)
δ		(ω) = M {S(ω) − S(ω)}			= ∆ cv + D[S(ω)]= min.		(5.67)

Относительная среднеквадратическая погрешность при этом определяется следующим образом

		2			€
	γ 2 (ω) =	∆ cv		+	D[S(ω)].		(5.68)
	γ 2 (ω) =	S 2 (ω)		+	D[S(ω)].		(5.68)
		S 2 (ω)			S 2 (ω)
С	учетом		дополнительного			сглаживания	(использования

корреляционных окон) соотношения (5.65) и (5.66) примут вид соответственно:


€	1	∞			€		(5.69)
S(ω) =	π	∫h(τ) R(τ)cos(ωτ)dτ,					(5.69)
	π	0
€	∆t			N −1	€	€
S(ω) =			2∑h(k∆t) R(k∆t)cos(kω∆t) −h(0)R(0) .				(5.70)
	2π			k =0

При этом оценки с верху относительной дисперсии оценки СПМ и относительной ошибки от смещенности будут определяться соотношениями вида

€

∞

D[S(ω)]

≈

∫h(0)dτ,

(5.71)

(ω)

€

∞

γcv = M

[S(ω) − S(ω)]≈

∫[h(τ) −1]R(τ)cos(ωτ)dτ .

(5.72)

S(ω)

166

Погрешности оценивания, как видно из (5.71) и (5.72), определяются видом весовой функции h(τ) (корреляционного окна).

К настоящему времени предложено много различных корреляционных окон, среди которых наибольшее распространение получили окна: Пугачева

– Даниэля, Бартлетта, Хемминга, Тьюки, Парзена /4/.

Приведем краткий сравнительный анализ спектральных оценок с использованием перечисленных окон.

Окно Пугачева – Даниэля представляет собой прямоугольник в частотной области и определяется выражением

		2π	,\| w \|≤		∆w
		2π			∆w
		∆w			4π		(5.73)
g(w) =		∆w			4π	,
				∆w
	0,\| w \|>			∆w
	0,\| w \|>			4π
				4π

соответствующее корреляционное окно имеет вид

			∆w
				2
h(τ ) =	sin					τ		(5.74)
							.
		∆w			τ
2

На рисунке 23 изображены графики функций ( 5.73 ) и (5.74 )

Очевидно, что использование этого окна эквивалентно полосовой фильтрации и требует большого объема вычислительных процедур.

Оценка СПМ при этом имеет вид

	2	T ^	sin(		∆w )τ
€	2	∫ R (τ )			2			(5.75)
S ( w ) =	π	∫ R (τ )		∆w		τ	cos w τdτ .	(5.75)
		0			2	τ
		0

Погрешности оценивания в этом случае довольно велики, особенно для процессов с АКФ, обладающих низкой колебательностью.

Оценка сверху относительной среднеквадратической погрешности оценки Пугачева - Даниэля определяется выражением

γ 2

τm +γ

2 =

τm

∆cm

(5.76)

S 2 (w)

или

τm

∞

(5.77)

τ 2

τ 2 R(τ)cos(wτ)dτ .

T S(w)

3τm 2 ∫0

167

Для случайного сигнала с АКФ

R(w) = e−α \| τ \| cos w τ	(5.78)
0

и СПМ:

S(w) =

2π

+(w + w )

выражение (5.77) имеет вид

γ 2 =	τ	m +	π 2	C 2
			9τ 4 mα 4
	T

где

C =		1	−3(η + x)2	+	1		−3(η + x)2

	[1		+ (η + x)2 ]2			1+ (η − x)2

здесь	η =	ω	;	x =	ω0 .
		α			α

(5.79)

(5.80)

(5.81)

Из (5.80) видно, что для уменьшения дисперсии оценки (5.75) необходимо уменьшать ширину корреляционного окна τm = ∆2πω , но при этом

растет смещение. Зависимость (5.68) носит параболический характер и, следовательно, имеет единственный экстремум – минимум. Среднеквадратические погрешности оценок СПМ для других окон определяются аналогичными соотношениями. Дженкинс Ваттс /4/ показали, что измеряя ширину окна можно получать одинаковые метрологические характеристики для оценок, полученных с помощью различных окон. По этому для удобства сравнения вычисляют оценки СПМ, соответствующие окнам с оптимальной в смысле среднеквадратической ошибки шириной τ 0 m .

Оптимальная ширина корреляционного окна (5.74) находится из условия существования экстремума следующим образом:


∂γ 2	= 0;....τ 0 m = 5 4π 4C 2T		,	(5.82)
∂τm	= 0;....τ 0 m = 5 4π 4C 2T		,	(5.82)
∂τm		3α 4

где τ 0 m - оптимальное, в смысле среднеквадратического критерия, значение ширины окна.

Погрешность оптимизированной оценки Пугачева – Даниэля имеет вид

γ 2 0 ≈ (2.1+ 0.49)	1			C 25 .	(5.83)
γ 2 0 ≈ (2.1+ 0.49)	(αT )	4	5	C 25 .	(5.83)
	(αT )		5
					168

Окно Барлетта представляет собой треугольник во временной области

−

≤τm

;...

(5.84)

τm

h(τ) =

>τm

0;...

Соответствующее спектральное окно имеет вид:

				sin 2 (		∆ω			)τm
g(ω) =τm				sin 2 (		2			)τm				(5.85)
						2
			(		∆ω		)2	τ 2 m
			(		2		)2	τ 2 m
					2
а спектральная оценка:
€	2	τm									τ
				€									(5.86)
								−

S(ω) =	π		∫R(τ) 1							τm		cos(ωτ)dτ .
	π		0							τm

Графики функций (5.84) и (5.85) показаны на рисунке 43.

Как видно из (5.85) и рисунка 43, спектральная оценка имеет выраженные боковые лепестки, что крайне не желательно при спектральном анализе. Это объясняется тем, что спектр исследуемого сигнала, и особенно его слабые составляющие искажаются, так как боковые максимумы лепестков «маскируют» пики слабых гармоник обрабатываемого сигнала.

h(τ)

g(ω)

-τm

τm τ

Рисунок 44 – Корреляционное и спектральное окна Барлетта

Среднеквадратическая

погрешность

γ 2

оценки

определяется

выражением:

τm

∞

τm

γ 2 =

∫τR(ω) cos(ωτ)dτ

C 2 .

(5.87)

α τm

Оптимальная ширина окна τ 0 m определяется соотношением:

169

τm0	= 3 8TC 2	и с учетом этого
	0.667α 2
γ02	= (1.61+ 0.67)		1		C2	.	(5.88)
γ02	= (1.61+ 0.67)		(αT )2		C2	.	(5.88)
			(αT )2	3		3
				3

Не смотря на простоту технической реализации, окно Барлетта довольно редко используется в современном спектральном анализе из-за явно выраженных боковых лепестков и сравнительно низких метрологических характеристиках.

Окно Хэмминга описывается во временной во временной и частотной областях уравнениями

≤τm

0.54 +0.46cos

τm

(5.89)

h(τ) =

>τm

sin(ωτm −π)

g(ω) =1.08

sin(ωτm )

+ 0.46

sin(ωτm −π)

+ 0.46

(5.90)

ωτm

(ωτm +π)

(ωτm −π)

Графики корреляционного и спектрального окон Хэмминга изображены на рисунке 44:

h(τ)

g(τ)

				1
−τm	τm	−	1	1
			1	2πτm
			2πτm
			2πτm

Рисунок 45 – Корреляционное и спектральные окна Хэмминга

Погрешность γ 2 определяется выражением:

	τ			2π	∞	2
γ 2 = 0.8		m	+		∫τ2 R(τ)cos(ωτ)dτ ,		(5.91)
γ 2 = 0.8	T		+	2	∫τ2 R(τ)cos(ωτ)dτ ,		(5.91)
	T			4.35τmS(ω)	0

γ 2 = (0.8 + 0.5)	1		C .	(5.92)
γ 2 = (0.8 + 0.5)	(αT )4		C .	(5.92)
	(αT )4	25
		25
		5

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика