Курс теории активных систем - Новиков Д.А., Петраков С.Н

~

~

P , соответствующее НОП R , следующим образом:

μP (x, y) = max {μR (x, y) - μR ( y, x), 0}, x, y A .

~

~

~

Определим нечеткое

множество

недоминируемых альтернатив

(действий):

НД

(x) можно интерпретировать как

степень

Величину μ ~

R

действия x A , поэтому рациональным

недоминируемости

будем

A

НД

~

НД

НД

(z)}

(R) = {x Î A

μ ~

(x) = sup μ ~

R

z A

R

~

НОП R на множестве допустимых действий определяется следующим

правилом рационального выбора:

~

~

P(R, A) = AНД (R) .

Четкое множество

A

НД

~

НД

(R) = {x Î A

μ ~ (x) ³ α} , α Î (0, 1] ,

α

R

будем называть множеством α - недоминируемых действий.

Перейдем

к

рассмотрению

активной

системы

с

~

´ A ® [0, 1] , где

~

(нечеткая информационная функция) P : A0

P(z, y)

зависимости

от

действия

y A . Правило

рационального выбора

~

P(R, A) можно задать следующим образом.

Определим нечеткое подмножество множества результатов

деятельности

A0 :

~

~

γ

, y), μR (z1, z) } .

(P, z) = sup

min { P(z1

z1 A0

~

~

Пример 4.9. Нечеткое множество γ

можно интерпретировать

(P, z)

~

´ A ® [0, 1]

можно

исходной информации, то нечеткое множество P : A0

интерпретировать как множество действий АЭ,

R - как

четкое

есть γ

~ ~

{y Î A

u( y) ³ u(t), "t Î A}. ·

R (P) = P I

Пример 4.10. Эскиз функций принадлежности нечетких множеств

~

´ A ® [0, 1]

~

P : A0

и предпочтения R для некоторых фиксированных

z Î A0

и y A приведен на рис. 4.7 тонкими линиями, эскиз значения

величины γ

~

~

, y), μR

(z1, z) } для заданных z

(P(×, y), z) =

sup min { P(z1

z1 A0

~

сравнить два действия у1

и у2 Î А , а НОП

~

задано на множестве

R

результатов

деятельности,

то

следует взять

пересечение

множеств

μR (z1, z2 ) ,

~

и

~

позволит

устранить

γ (P (×, у1), z)

P (z, у2 ), что

~

β ( у1, у2 ) =

~

, y1 ), μR

~

, y2 )} .

sup min {P(z1

(z1, z2 ), P(z2

z1, z2 A0

~

отношение

предпочтения,

порожденное

функцией

полезности

~

~

~

над множеством

A0 , тогда НОП над множеством

f (z) = h (z) − χ (z)

возможных действий определяется следующим образом:

~

~

~

, y2 ) =

sup

min {P(z1, y1 ), P(z2 , y2 )} .

μRA ( y1

z1, z2ÎA0

~

~

f (z1)³ f (z2 )

Определим, как и ранее, нечеткое множество недоминируемых

действий:

НД

(y) = 1- sup [μ ~

(y , y) - μ ~

(y, y )] ,

μ ~

RA

y1ÎA

RA

1

RA

1

или

~

~

НД

( y) = 1

- sup [ sup

, y), μ

~

(z , z

)} -

μ ~

min{P(z

y ), P(z

2

2

RA

y1ÎA z1,z2ÎA0

1,

1

R

1

~

~

−

sup

~

, z1 )} .

min{ P ( z1 , y1 ), P ( z2 , y ), μ R ( z2

z1, z 2 Î A0

Множеством

рационального

выбора

будем

считать

либо

~

НД

( y) ,

~

, A)

= {y Î A

НД

(y) ³ α}, то

P(RA , A) = Arg max μ ~

либо P(RA

μR

0

yÎA

RA

0

A

Пусть

~

задана на

множестве

функция полезности центра Φ(z)

возможных результатов деятельности

A0 . Тогда она индуцирует четкое

отношение

предпочтения над

A0 .

Над

множеством

возможных

действий

можно определить

НОП

центра

и

нечеткое

множество

максимально недоминируемых

альтернатив

НД

F( y) = μ ~ ( y) , которое

F

Если

функция

полезности

АЭ задана

в виде “доход минус

штрафы”,

то

есть

~

~

~

НОП над множеством

f (z) = h(z) − χ(z) , то

возможных действий определяется как (см. раздел 4.2):

~

~

~

( y1, y2 ) =

sup

min {P(z1, y1 ), P(z2 , y2 )} .

μRA

K(χ) =

max

F( y) .

~

(χ ), A)

yÎP(RA0

ниже.

Введем задачу четкого математического программирования:

~

ì f (z) ® max;

ï ~

(4.1)

íP(z, y) ³ α;

ïy Î A, z Î A ;

ï

0

î

Приведем без доказательства два следующих технических

результата [16,19,21].

Лемма 4.1. Пусть выполнено

"y Î A

~

(4.2)

sup P(z, y) ³ α

z A0

~

~

и

и НОП μR ( y) индуцировано функцией полезности u(z) = h (z) − χ (z)

~

~

, y0 )

- решение

нечеткой информационной функцией P(z, y) . Если (z0

задачи (4.1), то

μ ~НД ( y 0 ) ³ α .

R A

Лемма 4.2. Если выполнено одно из следующих условий:

- (4.2), множества A и A0

конечны;

~

~

- (4.2), множества

A ,

A0 - компактны, а функции

и

f

P

непрерывны;

~

- множества A и

A0

-

компактны, функция f

- непрерывна

множество

α

-

недоминируемых

действий

не

пусто:

{y Î A

НД

( y) ³ α} ¹ Æ ;

μ ~

RA

б) Если выполнено условие (4.2) с

α = 1 , множества

A и A0

компактны,

~

и

~

множество

а f

P полунепрерывны сверху, то

Орловского {y Î A

НД

( y) = 1} не пусто, и любое решение задачи (4.1)

μ ~

RA

задачи (4.1).

Q( y ) = {z Î A

~

Обозначим

³ 1} . Пусть

не

существует

P(z, y )

0

результата деятельности z A

такого,

что пара

(z , y )

-

решение

0

задачи (4.1), то есть Q( y ) I Argmax

f (z) = Æ .

z A0

~

Пусть

z0 Î Argmax f (z) .

При

этом

, y ) < 1

и

в

силу

P(z0

~

z A0

y0 Î A

такое, что (z0 , y0 ) -

нормальности P(z, y) найдется действие

решение задачи (4.1)

и y0

- 1

– недоминируемое действие, которое

доминирует

y

со степенью строго большей нуля. Значит

y не 1 –

недоминируемое действие. Противоречие. ·

Пусть

функция

полезности

активного

элемента

представлена в

виде

“доход

минус

штрафы”:

~

~

~

Из

f (z)

= h (z) − χ(z) .

детерминированной

теории

(см.

теорему

2.1)

следует,

что,

если

множества A, A0 и функции

~

~

дохода h (z) и штрафов χ (z)

удовлетворяют

условиям

А.1-А.3,

то множество

точек

максимума

функции полезности

~

при

~

представляет собой отрезок

f (z)

χ (z) Î M

P = [z− , z+ ] , где

~

~

~

~

z− = min {z Î A

z+

= max {z Î A

h (z) ³ h (r) - C} ,

h (z) ³ h (r) - C} .

0

0

При этом любое действие из множества

P в детерминированной

Обозначим Q(z,α) = {y Î A

~

P(z, y) ³ α} , z Î A0 .

Лемма 4.4. Для любых x P

и для любых

y ÎQ(x, α) найдется

система

~

а

именно -

~

стимулирования χ Î M ,

χc (x, z) , такая, что

действие

y будет принадлежать

множеству

α -недоминируемых

действий.

и y ÎQ(x, α) . В

Доказательство. Рассмотрим произвольные x P

~

~

силу того, что x P , выполнено: x Î Argmax {h (z) - χc (x, z)} . Тогда

пара (x, y) является решением

z A0

что y

задачи (4.1), откуда

следует,

принадлежит множеству α - недоминируемых действий. ·

χ M

Множеством реализуемых

системой стимулирования

P(χ, α) = {y Î A

НД

НД

( y) - функция принадлежности

μ ~

( y) ³ α}, где μ ~

f

f

~

функцией P(z, y) . Максимальное множество реализуемых действий в

случае, когда элемент производит свой выбор из множества

α -

недоминируемых

действий, обозначим

через

S(α) =

UP(χ, α)

(см.

рисунок 4.8).

χM

Напомним,

что

в предположении

А.11

мы

потребовали, чтобы

~

нечеткая информационная функция P(z, y) была 1-нормальна.

Лемма 4.5. Максимальное множество реализуемых действий

определяется следующим выражением:

S(1) = UQ(x, 1) .

x P

Доказательство.

В

силу

леммы

4.3

и

А.11

любое

четко

недоминируемое действие

~

y принадлежит одному из множеств Q(x, 1)

для некоторого x Î A0 , то есть S(1) Í UQ(x, 1) .

x A0

В силу А.11 и того,

что

y - четко недоминируемое действие,

~

~ ~

то есть

~

~

~

~

z

Argmax {h (z) − χ (z)} , откуда

z P . При этом из того, что

~ ~

z A

~

~

- решение задачи (4.1),

следует,

что

( y, z )

y

Q(z , 1) . Для любого

x A0

найдется

~

такое,

что

~

~

откуда

z P

y

Q(z , 1) ,

UQ(x, 1) = UQ(x, 1) . Таким образом, S(1)

UQ(x, 1) .

x A0

x P

x P

x

z

y

Q(x,α)

Рис. 4.8. Функция полезности АЭ в задаче стимулирования

с нечеткой неопределенностью.

С другой стороны, из леммы 4.4 следует, что для любого

x P и

y Q(x, 1) найдется система

стимулирования

~

χ M такая, что

~

UQ(x, 1)

~

∙

y P(χ , 1) , то есть

U P(χ , 1) = S(1) .

x P

χM

Теорема 4.1.

В

активной

системе

с

нечеткой

внешней

неопределенностью

для

любой

системы

стимулирования

~

χ M

Доказательство. Из леммы 4.5 следует, что UQ(x, 1)

U P(χ, 1) .

x P

χM C

В то же время UP(χ, 1) = S(1)

UQ(x, 1) , значит S(1) =

U P(χ, 1) . ∙

χM

x P

χMC

~

~

- во второй.

нечеткой информацией P1(z, y)

- в первой АС и P2 (z, y)

В первой АС участники

обладают большей

информацией

(неопределенность меньше),

если

y A, z A0

~

~

P1

(z, y) ≤ P2 (z, y)

(см. рисунок 4.9). Обозначим K1 и K2

-

эффективности

стимулирования в первой и второй АС, соответственно.

~

P2 (z, y)

Теорема 4.2. K1 £ K2 .

Доказательство. Для любого x Î A0

выполнено

Q1(x,α) = {y Î A

~

(x,α) = {y Î A

~

(x, y) ³ α},

P1(x, y) ³ α} Í Q2

P2

K g

(χ ) =

min

F( y) ,

~

(χ ), A)

y P(RA0