Курс теории активных систем - Новиков Д.А., Петраков С.Н

Механизмы стимулирования в активных системах с вероятностной неопределенностью

Глава 3. МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ С ВЕРОЯТНОСТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

3.1. Элементы теории контрактов

Теория контрактов – раздел теории управления в социально- экономических системах, изучающий механизмы стимулирования в активных системах, функционирующих в условиях внешней вероятностной неопределенности. Базовой моделью теории

контрактов является одноэлементная статическая задача стимулирования второго рода в АС с внешней вероятностной неопределенностью и симметричной информированностью участников [5,19]. Будем считать, что активный элемент выбирает действие y A ,

которое под влиянием внешней среды приводит к реализации результата деятельности z A0 . Пусть задана плотность распределения

вероятности p(z, y) - вероятность реализации результата деятельности z A0 при выборе AЭ действия y A (см. рис. 3.1).

z Центр

Внешняя

среда

Рис. 3.1. Модель активной системы с внешней

неопределенностью и симметричной информированностью

51

ГЛАВА 3

~

Пусть функция полезности центра задана в виде дохода H (z) ,

В дальнейшем функции полезности элемента, а также функции дохода, штрафов, стимулирования, зависящие от результата деятельности z , будем отличать от соответствующих величин, являющихся их ожидаемыми значениями, тильдой над обозначением

функции. Например, ( y) ò ~(z) p(z, y)dz .

χ

=

χ

A0

Примем следующий порядок функционирования активной системы: 1. Центр сообщает АЭ функцию стимулирования χ(z) Î M -

зависимость выплат элементу (штрафов) от результатов деятельности.

2.Активный элемент выбирает действие y A .

3.Реализуется случайная величина – результат деятельности АЭ

z Î A0 .

4.Центр наблюдает результат деятельности z Î A0 , проводятся

выплаты и определяются значения функций полезности участников АС. При этом центр не имеет возможности наблюдать действия y A АЭ.

Будем считать, что так как на момент принятия решений участники не знают результата деятельности, а имеют лишь информацию о распределении плотности вероятности p(z, y) , то они используют

ожидаемую полезность для устранения неопределенности, то есть

целевыми функциями участников являются математические ожидания соответствующих функций полезности (см. также раздел 1.2).

Задача (первого рода) синтеза оптимальной функции стимулирования имеет вид:

52

Механизмы стимулирования в активных системах с вероятностной неопределенностью

где U - некоторая константа, носящая название ограничения пособия по

безработице (для простоты далее будем полагать U = 0 ).

Аналогичную формулировку задачи первого рода можно привести и для представления целевой функции АЭ в виде «доход минус штрафы»:

контрактов1, а решение {σ * (×), y*} - оптимальным контрактом.

Одним из численных методов решения задачи теории контрактов является двухшаговый метод.

Предположим, что множество возможных действий АЭ конечно, то есть A = {y1, ..., yn} , A0 = {z1, ..., zn}. Обозначим σ i = σ ( yi ) , ci = c( yi )

и pij = p(z j , yi ) .

На первом шаге определяется множество реализуемых действий:

Если решение этой задачи существует, то действие yk реализуемо.

Минимальные затраты на стимулирование по реализации действия yk

1 Более корректно, в задаче теории контрактов [5] АЭ имеет фон- Неймановскую функцию полезности, зависящую от выплат со стороны центра. Мы рассматриваем упрощенный случай – когда эта функция линейна.

53

ГЛАВА 3

есть наиболее выгодное для центра реализуемое действие.

Двухшаговый метод решения задачи теории контрактов полностью аналогичен описанному выше методу решения детерминированной задачи стимулирования – сначала определяется множество действий АЭ, реализуемых при данных ограничениях, а затем ищется оптимальное реализуемое действие.

Несмотря на наличие численных алгоритмов, необходимость

приближенной оценки влияния неопределенности заставляет искать решение задач теории контрактов в аналитическом виде.

3.2.Задача синтеза оптимального механизма стимулирования в активной системе с внешней вероятностной неопределенностью

Рассмотрим активную систему, состоящую из одного АЭ и центра. Пусть функции полезности центра и АЭ имеют следующий вид (задача

54

Механизмы стимулирования в активных системах с вероятностной неопределенностью

pˆ(z - y) существует, почти везде дважды непрерывнодифференцируема, унимодальна с модой y и удовлетворяет

ò zpˆ(z, y)dz = y .

A0

Предположения А.5-А.7 будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

Следует отметить, что в точках y* и y5 ( y5 £ x £ y* ) находятся максимумы целевой функции АЭ из разных интервалов: y* Î[x, + ¥) ,

приводимыми без доказательств [19].

Лемма 3.1. Функции H ( y) и h( y) удовлетворяют А.5. Лемма 3.2. Функция F(z, y) не возрастает по y .

Во второй главе было доказано, что в детерминированной задаче первого рода оптимальна скачкообразная система стимулирования.

Поэтому исследуем свойства этого класса систем стимулирования в

55

ГЛАВА 3

В целях упрощения в дальнейшем будем исследовать случай, когда центру необходимо реализовать максимально возможное действие (в [19] доказано, что, если в классе MC реализуемо некоторое действие

реализуемо, следует, что y A h( y ) - χC (x , y ) ³ h( y) - χC (x , y) , тогда, подставляя y = y5 , получаем, что выполнено:

h( y ) - χC (x , y ) ³ h( y5 ) - χC (x , y5 ) .

56

Механизмы стимулирования в активных системах с вероятностной неопределенностью

дифференцируема. В точке максимума необходимо выполнение условия

57

ГЛАВА 3

~ £

Таким образом, y x0 . Значит, максимум f ( y) может достигаться

f (y5 (x)) = f (y (x)) .

Следующие три теоремы дают достаточные условия того, что

именно скачкообразная система стимулирования реализует максимальное в классе M действие АЭ.

- максимальное действие, реализуемое системами стимулирования из класса M.

Доказательство. Запишем условие реализуемости действия y

системой стимулирования ~ : χ(x , z)

h(y ) - χC (x , y ) ³ h(y) - χC (x , y) y A .

Положим y = y5 (x* ) , тогда в соответствии со следствием 3.2 получим:

h(y5 (x )) - χ(x , y5 (x )) = h(y (x )) - χ(x , y (x )) .

При этом выполнено:

h(y5 (x )) - χ(x , y5 (x )) ³ h(y) - χ(x , y) y A .

58

Механизмы стимулирования в активных системах с вероятностной неопределенностью