Московский Государственный Институт Электроники и Математики
(Технический Университет)
Лекции по дисциплине
Уравнения Математической Физики
(У.М.Ф.)
Факультет «Прикладная Математика»
5-ый семестр
Лектор профессор В.В. Белов.
Лекции слушал и записал студент 3 курса С.В. Ярчук
Рекомендуемая Литература:
А.Н. Тихонов и А. А. Самарский: «У.М.Ф.».
В.С. Владимиров: «У.М.Ф.».
Федорюк: «Обыкновенные дифференциальные уравнения».
В.В. Белов и С.М. Воробьев «Сборник задач по дополнительным главам У.М.Ф.»
Москва 2001
Содержание
Содержание 2
Предварительная информация о стиле и форме изложения 7
Введение 8
Первичные понятия. 8
Примеры. 8
Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка» 9
§1. Линейные У.Ч.П. 1-го порядка 9
Пример (линейное уравнение бегущей волны). 9
Понятие линейного уравнения 1-ого порядка. 9
Теорема 1. 10
Замечание 1. 10
Теорема 2 (теорема существования). 10
Замечание 2. 10
Теорема 3 (об общем решении линейного уравнения). 11
§2. Квазилинейные уравнения: характеристики и общее решение 11
Определение (квазилинейное уравнение). 11
Замечание 1. 11
Утверждение 1 (характеристическая система квазилинейного уравнения). 11
Теорема 1 (об общем решении квазилинейного уравнения). 11
Пример (уравнение Эйлера). 12
Замечание 2 (задача «ГИБДД»). 12
§3. Задача Коши для квазилинейного уравнения 13
Постановка задачи Коши для квазилинейного уравнения. 13
Геометрическая интерпретация задачи в расширенном фазовом пространстве. 13
Задача. 14
Мораль: как решать задачу Коши? 14
Алгоритм решения задачи Коши {(1), (2)}. 14
Утверждение 1 (о справедливости алгоритма). 15
Замечание (задача Коши для линейного уравнения). 16
§4. Корректность алгоритма решения задачи Коши 16
Теорема 1 (о корректности алгоритма для квазилинейного уравнения). 16
Упражнение. 19
Замечание (о катастрофе в решении). 19
§5. Моделирование потока жидкости в «трубе» 19
Постановка задачи. 19
Вывод уравнения. 19
Решение задачи о «трубе». 20
Теорема. 22
Лемма 1 (Лиувилля). 22
Замечание. 23
Пример поля, удовлетворяющего замечанию. 23
§6. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби 23
Понятие уравнения Гамильтона-Якоби. 23
Постановка задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. 24
Алгоритм решения этой задачи на примере. 24
Интерпретация алгоритма в фазовом пространстве. 26
§7. Обоснования алгоритмов решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби 26
Замечание 1. 26
Замечание 2. 27
Лемма Гамильтона. 27
Доказательство корректности алгоритма. 27
Упражнение (единственность решения задачи Коши). 28
Замечание 3 (обобщенное уравнение Гамильтона-Якоби). 28
Замечание 4 (о стационарном уравнении). 29
Пример (Мираж). 29
Замечание 5 (о геометрическом смысле леммы Гамильтона). 29
Глава 2 «Уравнение диффузии или теплопроводности. Метод разделения переменных (метод Фурье) его решения» 31
§1. Получение уравнения диффузии или теплопроводности 31
Параметры. 31
Вывод уравнения диффузии или теплопроводности. 31
§2. Постановка начально-краевой или смешанной задачи для уравнения диффузии или теплопроводности. 32
§3. Смешанная задача с краевым условием I-ого рода 32
Утверждение 1 (о редукции задачи (1)-(3) к задаче с однородным уравнением и однородными граничными условиями). 32
§4. Метод Фурье для однородной смешанной задачи с однородным граничным условием 34
Идея принципа Фурье. 34
Утверждение 2. 34
Замечание. 35
Теорема 1 (собственных значениях и собственных функциях задачи (8)). 35
Замечание (о формальном решении задачи). 35
Проблемы. 36
Теорема 2. 36
Следствие (о классическом решении задачи). 36
Пример (безопасность ядерного реактора). 36
§5. Корректность начально-краевой задачи для уравнения диффузии с краевым условием I-ого рода 38
Определение (корректная постановка задачи). 39
Замечание 1. 39
Замечание 2. 39
Теорема 1 (принцип максимумов). 39
Теорема 2 (о единственности классического решения). 41
Теорема 3 (о непрерывной зависимости классического решения). 41
Теорема 4. 42
Замечание 3 (о локальности решения). 43
Замечание 4 (о решении задачи для струны). 43
§6. Уравнение теплопроводности во всем пространстве 43
Предварительное замечание (постановка проблемы). 43
Теорема 1 (Теорема Пуассона о классическом решении задачи (1)-(2)). 44
Напоминание о преобразованиях Фурье. 44
Свойства преобразований Фурье. 44
Замечание 1. 45
Доказательство теоремы Пуассона. 45
Теорема 2. 46
Свойства ядра Пуассона. 46
Замечание 2. 47
Лемма 1. 47
Замечание 3. 47
Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций» 49
§1. Эвристические соображения 49
Пример. 49
§2. Основные определения теории обобщенных функций 50
Определение 1 (пространство основных функция). 50
Определение 2 (сходимость). 50
Определение 3 (определение обобщенной функции). 50
Замечание (об обычных функциях). 50
§3. Свойства обобщенной - функции Дирака 50
Предварительное уведомление. 51
Вариант определения - функции. 51
Производная - функции. 51
Первообразная от - функции. 51
Умножение на гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию. 51
Носитель - функции. 51
Замена переменных. 51
Преобразование Фурье - функции. 52
Формулы Сохоцкого. 52
-функция, как слабый предел -образной последовательности. 53
§4. Дифференцируемость в D’ 53
Предварительное замечание. 53
Определение 1 (производная обобщенной функции). 54
Следствие (о бесконечной дифференцируемости обобщенной функции). 54
Пример (тета-функция). 54
Теорема (о дифференцировании кусочно-гладкой обобщенной функции). 54
§5. Умножение в D’ 55
Определение 1 (умножение на функцию). 55
Пример 1. 55
Пример 2. 55
Теорема 1 (правило Лейбница). 55
Пример 3. 55
Пример 4. 56
Пример 5. 56
§6. Замена переменных в D’ 56
Определение (линейная замена переменных). 56
Замечание 1 (о корректности определения). 57
Замечание 2. 57
Теорема (замена переменных в функции Дирака). 57
§7. Классическое преобразование Фурье 59
Напоминание (классическое преобразование Фурье). 59
Теорема 1 (теорема обращения). 59
Замечание 1. 59
Лемма 1 (Лебега). 59
Пример 1. 60
Лемма 2 (об Фурье-образе производной). 60
Замечание 2. 60
Лемма 3. 60
Следствие. 61
§8. Обобщенное преобразование Фурье (для обобщенных функций медленного роста) 61
«Определение 1» (обобщенное преобразование Фурье). 61
Замечание 1 (некорректность определения 1). 61
Определение 2 (пространство Шварца). 61
Пример 1. 61
Определение 3 (обобщенные функции медленного роста). 62
Пример 2. 62
Лемма 1 (инвариантность преобразования Фурье). 62
Пример 3 (Фурье-образ функции Дирака). 62
Пример 4 (формула обращения). 63
Пример 5 (разложение -функции на плоские волны). 63
§9. Оператор Лапласа и обобщенные функции 63
Пример. 63
Определение (фундаментальное решение оператора Лапласа). 64
Замечание 1. 64
Замечание 2 (решение уравнения Пуассона). 65
Уравнение Гельмгольца. 65
Факт 1 (фундаментальные решения уравнения Гельмгольца). 65
Задача. 65
Проблема. 65
Глава 4 «Метод ВКБ – Маслова для уравнений, содержащих малый параметр при производной» 66
§1. Метод регулярной теории возмущения (для О.Д.У.) 66
Постановка задачи. 66
Решение задачи. 66
§2. Метод сингулярной теории возмущения для О.Д.У. (метод ВКБ) 67
Постановка задачи. 67
Замечание 1. 67
Замечание 2. 67
Замечание 3. 67
Идея решения. 68
Утверждение 1. 68
Утверждение 2. 69
Теорема (о решении задачи). 69
§3. Метод ВКБ-Маслова для уравнения Шредингера 69
Постановка задачи. 69
Замечание 1 (переход к классической механике). 69
Идея решения. 70
Утверждение 1 (о решении уравнения Шредингера). 71
Решение задачи. 71
Утверждение 2 (о переходе к уравнению неразрывности). 71
Замечание 2 (решение уравнения неразрывности). 72
Замечание 3 (о доказательстве утверждения 2). 72
Утверждение 3. 72
Замечание 4. 72
Заключительное замечание ко всему курсу. 73
Предметный указатель 74
Предварительная информация о стиле и форме изложения
Перед изучением данного курса требуется знание курсов математического анализа, функционального анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей, а также курса общей физики.
Весь курс лекций подразделен на главы, которые подразделяются на параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам и т.п. Теоремы, как правило, сопровождаются доказательствами, которые иногда находятся не непосредственно после них.
Разный смысл/важность, вкладываемый в то или иное слово/символ в лекциях обозначается разной маркировкой текста
Название главы: Глава;
Название параграфа: Параграф;
Обозначение определения, теоремы, примера, замечания и т.п.: Определение;
Обозначение подпунктов: Доказательство;
Выделение (подчеркивание важности): самостоятельно;
Определяемый термин: У.М.Ф.;
«Пусть/Тогда» в теоремах: Пусть;
Математическая символика: u(x,y,z)=0;
Обычный текст: уравнение.
Различные уравнения, условия, утверждения, как и в любой математической литературе, здесь принято обозначать для указания на них в последующем либо цифрами ( (1), (2) и т.д.), либо звездочками ( (*), (**) и т.д.). Возможно также добавление штрихов ((1’), (*’)). Возможно и нестандартное обозначение.
В тексте приняты сокращения:
У.М.Ф.– уравнения математической физики;
У.Ч.П.– уравнения в частных производных;
О.Д.У.– обыкновенные дифференциальные уравнения;
Т.е.– то есть;
Т.п.– тому подобное;
Т.к.– так как;
Т.о.– таким образом;
Т.д.– так далее.
Все остальные символьные обозначения
читающему должны быть знакомы из
предыдущих курсов. Например,
- замыкание множестваD,
- скалярное произведение.