Совместная плотность распределения значений случайного процесса
( t 0 ), ( t 1 ) , …, ( t n ), n 1 :
P ( t 0 , t 1 , …, t n ; x 0 , x 1 , …, x n ) =
= p 0 ( x 0 ) p ( t 0 , x 0 , t 1 , x 1 ) … p ( t n -1 , x n -1, t n , x n ) ( 4 )
p 0 ( x 0 ) – плотность начального распределения Р0 ( в момент t 0 ). Чаще t 0 = 0.
x 0 , x 1 , …, x n , x i R – вещественные числа.
Лекция № 8
Условная плотность
P ( t 1 , t 2 , …, t n ; x 1 , x 2 , …, x n | t 0 , x 0 ) =
= P x ( t 1 , …, t n ; x 1 , …, x n )
{ = p ( t 0 , x 0 ; t 1 , x 1 ) … p ( t n -1 , x n -1, t n , x n ) } ( 5 )
Чаще всего полагается t 0 = 0 :
Можно задавать марковский процесс двояко: либо фиксируем начальное состояние и переходные плотности знаем; либо не знаем начальное состояние.
В дальнейшем будем предполагать, что заданы плотности вероятностей перехода:
р ( s, x ; t , y ) 0 s < t , х, y R.
Определение. Марковский процесс ( t ) будем называть однородным, если
р ( s, x ; t , y ) = р ( t - s ; x , y ), t > s , т.е. плотность вероятности перехода зависит от разности временных параметров :
р ( s, x ; t , y ) = р ( , x , y ), = t - s.
Запишем для однородного марковского процесса ( t ) уравнение Колмогорова – Чепмена для плотностей вероятности перехода :
р ( t + ; x , y ) = ∫ p ( t ; x , z ) p ( ; z , y ) d z ( 6 )
Из ( 5 ) :
P ( t 1 , t 2 , …, t n ; x 1 , x 2 , …, x n | t 0 , x 0 ) =
= p ( t 1 - t 0 ; x 0 , x 1 ) p ( t 2 - t 1 ; x 1 , x 2 ) … p ( t n - t n - 1 ; x n - 1, x n ) ( 7 )
Процессы с независимыми приращениями
Определение 1. Случайный процесс ( t ) с непрерывным временем t T будем называть процессом с независимым приращением, если для временных параметров
t 0 t 1 … t n , t 0 , t 1 , …, t n T
случайные величины
( t 0 ), ( t 1 ) - ( t 0 ), …, ( t n ) - ( t n - 1 ) – независимы в совокупности.
Определение 2. Процесс с независимым приращением ( t ) имеет однородные приращения, если распределение случайных величин ( t + ) - ( ) не зависит от начальной точки ≥ 0 , а зависит только от длины интервала t .
Отметим, что процессы с независимыми приращениями
являются марковскими процессами. Кроме того, характер
t множества состояний Х не оговаривается, т.е. может быть
───┬──────┬──── и дискретным, и непрерывным. В частности, для
τ t + τ
дискретного Х процесс Пуассона является процессом с независимыми одноразовыми
приращениями дискретно ( процесс Пуассона)
Х
непрерывно
Вообще говоря, процесс Пуассона можно определить следующим образом:
Пуассоновский процесс – это случайный процесс ( t ) с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, для которых выполнены условия:
-
( t ) – процесс с независимыми однородными приращениями;
-
распределение приращений Пуассоновское с параметром λ t :
P { ξ ( t + ) - ξ ( ) = n } = e - х , λ > 0, 0, n = 0, 1, 2 …
Винеровский процесс
Определение 1. Винеровским процессом ξ ( t ) называется такой случайный процесс с
непрерывным временем t [ 0,) и непрерывным множеством
состояний X = R , обладающий следующими свойствами :
-
( t ) – процесс с независимыми однородными приращениями;
-
приращение процесса ξ ( t + ) - ξ ( ) распределены по нормальному закону
с параметрами a t , 2 t .
ξ ( t + ) - ξ ( ) ~ N ( a t , 2 t )
-
( 0 ) = 0 - этот процесс выходит из нуля.
Винеровский процесс является Марковским.
a - коэффициент сноса
2 – коэффициент диффузии.
Винеровский процесс иногда называют процессом броуновского движения.
Рассмотрим новый процесс :
0 ( t ) – применим стандартную нормировку, т.е.
M 0 ( t ) = a 0 = 0
0 ( t ) =
D 0 ( t ) = t
W ( t ) = ξ 0 ( t ) = ~ N ( a , t )
стандартный Винеровский процесс
Т. е., если рассмотреть 0 ( t ) = линейное преобразование исходного
процесса, то у 0 ( t ) a 0 = 0, 0 = 1.
Т.к. ξ ( t ) = ξ ( t ) - ξ ( 0 ) ; ξ ( t ) – нормальное распределение с параметрами ( a t , 2 t ).
Для 0 ( t ) распределение 0 ( t ) – нормальное распределение с параметрами ( 0, t ),
т.е. M 0 ( t ) = 0 , D 0 ( t ) = t.
Определение 2. Случайный процесс W ( t ) = ξ 0 ( t ) – называется стандартным Винеровским процессом.
Для стандартного винеровского процесса плотность перехода можно записать так:
р ( s, x ; t , y ) = , t > s ( 1 )
если t = s + , то
р ( s, x ; t , y ) = р ( ; x , y ) = ( 2 )
Вероятность перехода:
(x)
Р ( s, x ; t , B ) = ∫ р ( s, x ; t , y ) d y =
( - )
борелевские множества в R Если В - [ 0, ) , то у нас
возникает обычная функция распределения
Совместная плотность распределения значений w ( t 1 ), w ( t 2 ), …, w ( t n ); w ( t 0 ) = 0,
т. е. t 0 = 0, х 0 = 0 :
p х ( t 1 , t 2 , …, t n ; x 1 , x 2 , … , x n ) = p 0 ( t 1 , t 2 , …, t n ; x 1 , x 2 , …, x n ) =
= р ( 0, 0 ; t 1, x 1 ) p ( t 1, x 1 ; t 2, x 2 ) … p ( t n – 1 , x n - 1; t n , x n ) =
( 1 ) каждая из этих функций - плотность нормального распределения
=== р ( t 1 ; 0 , x 1 ) р ( t 2 - t 1 ; x 1 , x 2 ) … p ( t n - t n - 1 ; x n - 1, x n ) =
( 2 )
=== … ( 3 )
Лекция № 9
Теорема. ( об условном распределении значений винеровского процесса W ( t ) при фиксированных концах траектории).
Условное распределение значений винеровского процесса w ( t ) при условии:
t 0 < t 2 < t 1, t 0 , t 1 - фиксированы, w ( t 0 ) = a 0 , w ( t 1 ) = a 1 – нормальное ( Гауссовское ) распределение с математическим ожиданием
M [ w ( t ) | w ( t 0 ) = a 0 , w ( t 1 ) = a 1 ] = a 0 +
и дисперсией
D [ w ( t ) | w ( t 0 ) = a 0 , w ( t 1 ) = a 1 ] =
Доказательство. (краткое).
Рассмотрим совместные плотности винеровского процесса w ( t ) в моменты времени s, u , 0 < s < u , w ( 0 ) = 0;
Р 0 ( s, u ; х , y ) =
совместная плотность
По формуле для условной плотности плотность значения w ( s ) при условиях
w ( 0 ) = 0 , w ( u ) = y :
Р 0 ( s, u | х ,y ) = = =
=
условное математическое ожидание
= ( 1 )
дисперсия
Полученное выражение ( 1 ) - это плотность нормального распределения , для которого математическое ожидание и дисперсия даются следующим образом :
M [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( u ) = y ] =
( 2 )
D [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( u ) = y ] =
В частности, если u = 1 , y = 0.
|
|
M [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( 1 ) = 0] = 0 D [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( 1 ) = 0] = s (1 – s )
|
|
||
|
Рассмотрим распределение случайной величины w ( t ) при условии w ( t 0) = a 0 ,
w ( t 1) = a 1.
P { w ( t ) < z | w ( t 0 ) = a 0 , w ( t 1) = a 1 } =
= P ( w ( t - t 0 ) < z - a 0 | w ( 0 ) = 0 , w ( t 1 - t 0 ) = a 1 - a 0 }
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
||||||
t - t 0 t 0 t t 1 |
t |
|
Воспользуемся распределением ( 1 ) и положим
s = t – t 0 , u = t 1 – t 0 , x = z - a 0 , y = a 1 - a 0
──┬────────────┬────── t
t – t 0 t 1 – t 0 t
Стартуем из нуля, через ( t 1 - t 0 ) времени оказались в состоянии (a 1 - a 0 )
w ( t 1 - t 0 ) ~ N. Распределение w ( t 1 - t 0 ) при условии w ( 0 ) = 0 , w ( t 1 - t 0 ) = a 1 - a 0
- нормальное со следующими параметрами:
M [ w ( t ) w ( t 0 ) = a 0 ; w ( t 1) = a 1 ] = M [ w ( t - t 0 ) + a 0 | w ( 0 ) = 0 ;
w ( t 1 - t 0 ) = a 1 - a 0 ] =
D [ w ( t ) w ( t 0 ) = a 0 ; w ( t 1) = a 1 ] = D [ w ( t - t 0 ) + a 0 | w ( 0 ) = 0 ,
w ( t 1 - t 0 ) = a 1 - a 0 ] =
Из доказанного можно получить, что распределение случайной вероятности w ( t ) при наших условиях совпадает с распределением:
P { w ( t ) < z | w ( t 0 ) = a 0 , w ( t 1) = a 1 } =
= P { a 0 + w ( t - t 0 ) + ( a 1 - a 0 ) < z | w ( 0 ) = 0 , w ( t 1 - t 0 ) = a 1 - a 0 }
Аналогично, пусть t 0 = 0 , t 1 = τ > 0
= + w ( t - t 0 ) = a 0 + ( a 1 - a 0 ) + w ( t ) =
= a 0 ( 1 - ) + a 1 + w ( t )
Это вспомогательный процесс .
= a 0 ; = a 1 + w ( τ )
Введем новый случайный процесс, чтобы сдвинуть w ( τ ) :
= - w ( τ ) = a 0 ( 1 - ) + a 1 + w ( τ ) - w ( τ ) ( 3 )
фиксированное значение процесса в момент τ
при t = τ будет a 1 .
= a 0 ; = a 1
Определение. Случайный процесс задаваемый соотношением ( 3 ), где w ( t ) –стандартный винеровский процесс называющейся Броуновским мостом.
Его математическое ожидание:
M = a 0 ( 1 - ) + a 1 ;
( s, t ) = min ( s, t ) - ─ корреляционная функция s, t < ( 0, τ ).
Для винеровского процесса:
M w ( t ) = 0 ; ( s, t ) = min ( s, t )
корреляция
k ( s, t ) = M ( ξ ( s ) – M ( ξ ( s ) ) – ( - M ( ) = M ξ ( s ) - M ξ ( s ) M
(если s и t совпадают, то это - дисперсия процесса ).
Пусть ~ ( λ )
P { = k } =
ξ ( 0 ) = 0
s < t
= ( ξ ( s ) – ξ ( 0 ) ) + ( - ξ ( s ) )
k ( s, t ) = M ( ξ (s ) – M ξ ( s ) ) ( ξ ( s ) - M ξ ( s ) + [ ξ ( t ) - ξ ( s ) – M ( ξ ( t ) – ξ ( s ) ] =
= D ξ (s) + M ( ξ (s) – M ξ (s) ) M ( ξ (t ) – ξ (s) ) – M ( ξ (t ) – ξ (s) ) ( M ( ξ (s) – M ξ (s) ) =
= D ξ ( s ) = равняется нулю
куда пропало t ? – t ушло в условие s < t.
k ( s, t ) = λ min ( s, t )
Проделать то же самое для других рассматриваемых процессов.
Лекция № 10
Свойства траекторий винеровского процесса
Теорема 1. Существует непрерывная модификация винеровского процесса, т.е. все его траектории являются непрерывными функциями с вероятностью равной единице.
Доказательство.
Применим теорему Колмогорова о существовании процесса с заданными непрерывными траекториями.
M | ( t + h ) - ( t ) | a ≤ c h 1 + b a > 0
b > 0
0 ≤ c <
Рассмотрим приращение винеровского процесса ξ ( t ) на ( t, t + h ) : ( t + h ) - ( t ). Это приращение имеет нормальное распределение с параметрами 0 и среднеквадратичное отклонение N ( 0, ) – нечетные центральный моменты равны нулю; четные вычисляются по определенной формуле.
Рассмотрим момент четвертой степени:
M | ( t + h ) - ( t ) | 4
Заметим, что М | | 4 = М 4 (момент и центральный момент совпадают).
Если обозначить:
= ( t + h ) - ( t ) , то М = 0, т.е. М ( - М ) n = М n = n
Для нормального распределения:
4 = М ( - М ) 4 = M ( ( t + h ) - ( t ) ) 4 = 3 ( ) 4 = 3 h 2
т.о. M | ( t + h ) - ( t ) | 4 = 3 h 2 , т.е. выполнено условие теоремы Колмогорова (верно для винеровского процесса).
Или:
( h ) ~ N ( 0, h )
M 2n = ( 2n – 1 ( 2n – 3 ) … ( 5 – 3 ) 1 2 n = ( 2 n ) !! 2 n
( t + h ) - ( t )
М = 0, М ( - М ) n = М 4
М 4 = 3 ( ) 4 = 3 h 2 проверили
Теорема 2. С вероятностью равной 1 траектории винеровского процесса ни в одной точке t не имеет производной, т.е. T = [ 0; ).
P : = 1 не существует конечного продела, т.е.
( без доказательства)
Свойства траекторий
Можно представить винеровский процесс, как процесс симметричных случайных блужданий по целочисленным точкам.
R |
|
|
|
|
|
По какой переменной брать предел? Функция непрерывна, но недифферинцируема ни в одной точке.
В качестве множества состояний можно рассмотреть R n . Если dim x = dim R m = m 3, то вероятность того, что процесс, выйдя из единичного шара U R 3 , U = { x : | x | < 1 } и вероятность возвращения в него меньше 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
Если множество X = R2 или X = R1 вероятность возвращения равна 1. |
Можно представить винеровский процесс как lim симметричных случайных блужданий по целочисленным ( ) свойства случайных блужданий выполнены.
Распределение функционалов от винеровского процесса
-
Распределение максимума винеровского процесса:
при x > 0 P ( sup w ( s ) < x ) =
P ( sup w ( s ) > x ) = 2 P ( w ( t ) > x )
написать самостоятельно
-
Распределение момента 1-го происхождения заданного уровня:
|
|
Процесс вышел из 0 и в какой-то момент достиг точки x. Как устроено распределение момента достижения значения x ? x = inf { t : w ( t ) > x }
P x < s = s > 0 |
|
|
|
|
|
x t |
|||
|
3. Совместное распределение максимального значения процесса на интервале ( 0, t )
Пусть а > 0, x < a
P ( sup w ( s ) < a , w ( t ) < x ) =
4. Распределение момента 1-го выхода из заданного отрезка (можно добавить, что до этого процесс там был).
x = inf { t : w ( t ) [ a, b] } a < 0 < b
P { w ( ) = b} = P { w ( ) = a} =
P { < t , w ( t ) = a} =
Стохастический функционал (ИТО)
, ( t ) - (w, t ) – случайный процесс
Определение. Случайный процесс ( t ) – будем называть неупреждающим по отношению к w ( t ), если для t приращение w ( t + ) - w ( t ), > 0 не зависит от ( s ) , s ≤ t , т.е. от предшествующих значений ( t ).
Построим стохастический функционал для кусочно-постоянной ( t ).
(s) = ( k ) , k ≤ s ≤ k + 1, k = 0, 1,…, n –
[ k , r + 1), k = 0, 1,…, n – 1, 0 = t 0, n = t 1 принимает на [ ] одно значение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Для кусочно-постоянной ( t ) определим функционал:
= ( 1 )
Δ w ( k ) = w ( k - 1 ) - w ( k ), k = 0, 1,…, n – 1
Свойства функционала ( 1 ): линейность, однородность.
( 2 )
( 2 ) - свойство линейности
Заметим, что т.к. процесс неупреждающий, можно записать:
1. M [ ( k ) Δ w ( k ) ] = M ( k )
равно нулю, т.к. процесс стандартный, винеровский 0
в силу свойств независимости
2. M [ ( k ) Δ w ( k ) ] 2 = M 2 ( k ) M [ Δ w ( k ) ] 2 = M 2 ( k ) Δ k =
дисперсия равна длине ( ) – ла совпадение моментов
= M 2 ( k ) [ k + 1 - k ] , k = 0, 1,…, n – 1, k j ( k < j ) .
∆ k
3. M [ ( k ) Δ w ( k ) ( j ) Δ w ( j )] = M [ ( k ) Δ w ( k ) ( j )] M [Δ w ( j )] = 0
0
Лекция № 11
Обозначим эти свойства 1 – 3 как: ( 3 ).
Рассмотрим математическое ожидание ( 1 ) :
( 4 )
Подсчитаем корреляционную функцию для двух интервалов.
Если , - произвольные случайные величины, то (взаимно) корреляционная функция – это:
K = M [ ( - M ) ( - M ) ]
Рассмотрим математическое ожидание произведения двух интегралов:
( 5 )
В частности, если ( t ) = ( t ) :
( 6 )
Введем норму в нашем пространстве кусочно-непрерывных функций :
С учетом этого определения ( 6 ) можно переписать следующим образом:
( 7 )
Предположим, что случайный процесс ( t ) на [ t 0 , t 1 ] может быть представлен как среднеквадратичный предел кусочно-постоянных функций:
, равномерно сходящимся по t [ t 0 , t 1 ] , { n ( t ) } – последовательность кусочно – постоянных ( кусочно – непрерывных ) функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда можно сделать следующую оценку: |
|
n, m равномерно по t
( доказано, что последовательность фундаментальная )
Последовательность – фундаментальна. Тогда проведем то же самое для интегралов:
( 8 )
последовательности функционалов ИТО фундаментальны.
Вывод: Если последовательность кусочно-постоянных функций имеет среднеквадратичный предел, то из ( 8 ) , что последовательность
-
функциональная последовательность.
Эта последовательность к чему-то сходится в среднеквадратичном и это мы назовем стохастическим интегралом ИТО от случайной функции ( t ).
стохастический интеграл ИТО от
случайной функции ( t ).
Заметим, что в силу фундаментальности этот предел существует и он не зависит от последовательности.
Замечание о существовании.
Для равномерно непрерывных в среднеквадратичном случайных функций ( t ) на [ t 0 , t 1 ] имеет место следующее свойство:
|
,
для которой равномерно |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Стохастический интеграл |
|
Замечание. Предел интегральных сумм зависит от выбора внутренней точки.
Свойства интегралов ИТО:
-
Интеграл , если подинтегральные функции являются кусочно-постоянными.
не обязательно кусочно-постоянная функция
-
Формула для корреляции:
-
Формула для интегрирования степени:
В частности, при n = 1:
Лекция № 12
Стохастические дифференциалы и стохастические дифференциальные уравнения
Определение 1. Случайные процесс ( t ) = t , t 0 , заданный на вероятностном пространстве ( , , P ) называется процессом ИТО, если два неупреждающих процесса a ( , t ) и b ( , t ) , , t 0 , для которых выполнено условие:
( 1 )
( 2 )
и таких, что процесс ( t ) представим в виде:
( 3 )
где w ( s ) – стандартный винеровский процесс,
0 – некоторая случайная величина, которая играет роль начального
значения (0) = 0 .
Говорят так же, что процесс ИТО имеет стохастический дифференциал и условно вместо соотношения ( 3 ) используют запись:
( 4 )
Стохастические интегралы в видах ( 1 ) и ( 2 ):
и по неслучайной мере строятся аналогично
стохастическому интегралу ИТО.
Пусть u ( t , x ) , ( t , x ) R + = [ 0, ) x R , определена на декартовом произведении. Пусть ( t ) - случайный процесс ИТО, для которого имеется стохастический дифференциал ( 4 ).
Рассмотрим процесс ( t ) = u ( t , ( t ) ) – “сложная функция” ( с помощью некой функции преобразовали процесс ( t ) , получили новый процесс).
Как найти стохастический дифференциал d ( t ) ? На этот вопрос дал ответ теоретик ИТО с помощью своей теории.
Теорема. Пусть u ( t , x ) – непрерывная ( по совокупности переменных) , ( t , x ) R 1 R – вещественная и непрерывная по совокупности переменных функция, для которой непрерывные частные производные вида:
Пусть ( t ) - процесс ИТО имеет стохастический дифференциал ( 4 ).
Тогда случайный процесс ( t ) = u ( t , ( t ) ) также имеет стохастический дифференциал, который выражается следующим образом:
( 5 )
Или иначе: при t > 0 для случайного процесса ( t ) = u ( t , ( t ) ) имеет место следующая формула (формула замены переменных):
( 6 )
Формулы ( 5 ) и ( 6 ) – это формулы ИТО.
Частный случай. ( к теореме, когда ( t ) - не случайный, а винеровский процесс).
Пусть ( t ) = w ( t ) – винеровский процесс.
Тогда d ( t ) = d w ( t ). Сравним с ( 4 ).
Тогда . Тогда из ( 5 ):
Для имеем:
( 7 )
Предположим, что w ( t ) и ( t ) не случайны.
В классическом анализе для неслучайных функций формула примет вид:
Это связано с тем, что в стохастической модели M [ w ( t + ) – w ( t ) ] 2 = .
Пример. Вычислим стохастический интеграл:
t > t 0
Найдем случайный процесс ( t ) = u ( t , w ( t ) ) такой, что d ( t ) = w ( t ) d w ( t ).
Тогда:
( t ) - ( t 0 ) = =
Согласно формуле ИТО ( 7 ):
=
( 8 )
Тогда из ( 8 ) :
( 9 )
( 10 )
Из ( 10 ) : u ( t , x ) =
Подставим в ( 9 ):
Отсюда:
Отсюда: ( t ) - ( t 0 ) = = - =
=
Броуновский мост, как стохастический интеграл
Можно определить броуновский мост ŵ ( t ) – как случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому выражению (соотношению ):
С помощью формулы ИТО можно доказать:
( доказательство имеется в книге:
Фазанов, «Случайные процессы», стр.39)
Лекция № 13
Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ)
-
Экономическая основа модели СДУ
Пусть некоторый случайный процесс s ( t ) = S t , который описывает динамику цен актива.
Обозначим S t = S t + t – S t изменения за [ t 1, t + t ]
Выпишем следующее представление:
S t = t + t t ( 1 )
, - постоянные, t ~ N ( 0, 1 ) – стандартная нормальная (гауссовская)
случайная величина.
М S t = t ; D S t = 2 t
Экономическое обоснование вида ( 1 ):
-
Общий вид правой части представляет:
-
t - неслучайная часть (основа)
t t - случайная добавка, характеризующая состояние среды и рынка, когда действует много случайных факторов.
-
t - положительное ожидаемое среднее, чтобы компенсировать
инвестору возможный риск ( положительная тенденция – positive drift ).
- параметр или скорость тенденции.
-
различные ценные бумаги (активы) характеризуются различной степенью
изменчивости (волатильности). Ближе всего к среднеквадратичному отклонению. - характеризует степень изменчивости для данной ценной бумаги.
Усложним нашу схему.
Заметим, что в общем случае величины
= ( t, S t ), = ( t, S t ) будут зависеть от времени и состояния актива, т.е. = ( t, x ), = ( t, x ) - функции, t R + = [ 0, ) x R.
В частности, приращение дохода будет выше, чем выше цена актива. Чем больше объем, тем больше доход.
Модель ( 1 ) можно переписать:
S t = ( t, S t ) t + ( t, S t ) t t ( 2 )
Но t t - нормальная случайная величина имеет то же самое распределение, что и w t = w ( t + t ) – w ( t ) – приращение стандартного винеровского процесса.
Соотношение ( 2 ) можно переписать:
S t = ( t, S t ) t + ( t, S t ) w t ( 3 )
( 3 ) при бесконечно малых можно переписать:
d S t = ( t, S t ) d t + ( t, S t ) d w t ( 4 )
( 4 ) – динамическая модель цены актива ( ДСУ относительно S t ).
-
Определение СДУ и его решение.
Предположим, что процесс ИТО ( t ), который имеет стохастический дифференциал.
( 1 )
при этом случайные коэффициенты зависят от элементарного исхода только через значение самого процесса ( , t ) = t ( ).
где функции a ( t , x ) , b ( t , x ) – измеримы на R t x R .
Определение 1. Соотношение ( 1 ) в другом виде
d t + d w ( t ) ( 2 )
называется СДУ относительно случайной функции ( t ).
Этому уравнению придается начальное условие:
(t 0) = 0 , 0 – случайная величина на интервале времени t t 0 0.
Определение 2. СДУ ( 2 ) с начальным условием (t 0) = 0 имеет решение
(t ) = t , t t 0 , если для t > t 0 выполнены следующие условия:
-
(t ) = t – случайная величина ( измеримая функция на
вероятностном пространстве) .
2) ( 3 )
3) ( 4 )
и при этом с вероятностью 1 имеет место соотношение:
(t ) = ( t 0 ) + + ( 5 )
Замечание. Фактически ( 5 ) - это другая форма ( 2 ), т.е. ( 5 ) можно считать СДУ в другой форме.
Теорема 1. Пусть функции ( t, x ) , ( t, x ) - измеримые (борелевские), заданные на декартовом произведении R + x R , R + = [ 0, ), R - евклидово пространство, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) n 1 k ( n ) – постоянная такая, что t 0, | x | n , | y | n
имеет место следующая оценка:
| a ( t , x ) – a ( t , y ) | + | b ( t , x ) – b ( t , y ) | k ( n ) | x – y | ( 6 )
( 6 ) иногда называется локальное условие Липшица.
2) t 0, x R имеет место условие:
| a ( t , x ) | + | b ( t , x ) k ( 1 ) | x | ( 7 )
(условие линейного роста)
Тогда непрерывное решение уравнения ( 2 ), (т.е. почти все траектории с вероятностью 1 являются непрерывными функционалами), причем, если 1 (t ) и 2 (t ) два непрерывных решения (при одном и том же начальном условии (t 0) = 0 ), то для T > t 0 имеет место следующее свойство:
( 8 )
Это – теорема существования и единственности СДУ.
Замечание.
1. Локальное условие Липшица может заменить абсолютная константа k > 0
такая, что для t 0, x , y R имеет место:
| a ( t , x ) – a ( t , y ) | + | b ( t , x ) – b ( t , y ) | k | x – y |
2. Единственность в смысле условия ( 8 ) можно расшифровать ( записать более
подробно): если 1 (t ) и 2 (t ) - два непрерывных решения, то если 1 (t ) и 2 (t ) – стохастически эквивалентны. Тогда выполнимо соотношение ( 8 ).
Теорема 2. ( о существовании единственности решений)
Пусть функции ( t, x ) , ( t, x ) , ( t, x ) R + x R , удовлетворяют условиям теоремы 1. Предположим, что t , x ( s ) - случайный процесс, определенный при
s t > t 0 , который является решением уравнения:
t , x ( s ) = x +
Тогда случайный процесс (t ) , который является решением уравнения ( 2 ) (или ( 5 ) ), является Марковским процессом, для которого вероятность перехода
P ( t , x , s, A ) = P { ( s ) A | ( t ) x ] = P { t , x ( s ) A }
совпадают с вероятностью t , x ( s ) .
Замечание.
-
Утверждается, что решения исходного уравнения являются Марковским
процессом .
2. Вероятности перехода (t ) совпадают с вероятностями состояний нового
процесса ( t , x ) при условии, что в момент t 0 : = 0 = x - состояние
фиксированное.
Лекция № 14
Стандартная диффузная модель стоимости акций
S ( t ) 1 = S ( t ) – случайный процесс, описывающий эволюцию стоимости акций.
Исторические модели были введены такие:
-
Линейная модель Л. Башелье ( 1900 г. )
S t = S 0 + t + - w t ( 1 )
S 0 = S (t 0) – начальное (случайное) значение
- параметр сноса
- параметр изменчивости (волатильность)
-
R
Если не учитывать начальные условия, т.е. положить S 0 = 0, тогда - это
математическое ожидание, 2 - дисперсия и получили бы обычный винеровский процесс.
Недостаток: такой процесс может принимать не только положительные, но и отрицательные значения (акция не может стоить отрицательно).
-
Модель геометрического (экономического ) броуновского движения
Идея построения
Рассмотрим приращение стоимости:
S t = ( t , S t ) t + ( t , S t ) w t
Рассмотрим частный случай, когда наши коэффициенты и линейно зависят от состояния ( t , S t ) = s t ; ( t , S t ) = S t , , - постоянные.
Получаем:
S t = S t t + S t w t ( 1 )
= t + w t ( 2 ) минимальное отношение доходности
( 2 ) – относительная доходность финансового актива.
Из ( 1 ) : d S t = S t ( d t + d w t ) ( 3 )
Введем эту модель точными понятиями, т.е. дадим строгое определение выражению ( 3 ) ( Самуэльсон, 1965 г. )
Формально пусть наш процесс выражается в следующем виде:
( 4 )
или иначе:
( 5 )
нормальное распределение
Тогда - имеет логарифмическое нормальное распределение.
Запишем ( 4 ) в виде:
Посчитаем частные производные:
По формуле ИТО:
( 6 )
Случайный процесс, который ввели удовлетворяет СДУ вида ( 6 ).
Вывод: Случайный процесс геометрического броуновского движения
удовлетворяет СДУ : ( 6 * )
Чаще всего s t используют как модель стоимости акций. Дополнительно еще рассматривают модель банковского счета.
Модель изменения банковского счета.
случайный процесс B t удовлетворяет: d B t = r B t d t ( 7 )
r > 0 – банковская учетная (процентная) ставка. Она – const., но может
быть и случайным процессом.
Пара случайных процессов ( S t , B t ), задаваемая уравнениями ( 6 * ) и ( 7 ), называется стандартная диффузная модель ( B , S ) – рынка.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (ТМО)
Литература: Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. «Теория массового
обслуживания «, М., Высшая школа, 1982.
( Теория восстановления (гл. 1, п.6) ).
Определение СМО. – это системы, которые выполняют однотипные элементарные операции. Такие операции называются операциями обслуживания.
Кроме того характерно наличие входящего потока заявок или требований. И входящий поток и законы обслуживания описываются вероятностными характеристиками, т.е. они носят случайный характер.
Примеры СМО.
-
Морской грузовой порт (поступление судов может отклоняться от графика, операции разгрузки и погрузки также происходят в разное время).
-
Торговая система (магазин, склад товара; - поступления носят случайный характер), покупатель приходит в случайный момент времени, обслуживание тоже носит случайный характер.
-
Вычислительный комплекс (поступление информации в сети ЭВМ происходит в случайный момент времени).
-
Административная система (чиновники принимают (обслуживают) однотипные заявки в случайный момент времени).
Основные объекты, входящие в СМО
Определение. Случайным потоком однородных событий (или требований) будет называться последовательность случайных моментов времени, в которое происходит данное событие (т.е. последовательность случайных точек на оси времени). Это – неубывающая последовательность.
Если под событием понимать поступление заявки в СМО, то такой поток называется входящим потоком требований или заявок.
Лекция № 15
{ t n = t n ( ) , n 1 } – входящий поток.
Определение. Рекуррентным потоком однородных событий (с ограниченным последствием) называется поток { t } такой, что n = t n - t n - 1 , n 1 - последовательность независимых, одинаково распределенных величин.
Это связано с понятием
┬─────┬──────┬─────┬─────┬───── простого процесса
0 t 1 t 2 t n – 1 t n восстановления
Определение. Рекуррентный поток однородных событий, для которого интервалы n имеют экспоненциальное распределение с параметром , т.е.
P ( n < x ) = 1 - ℓ - x , 0 , x 0
называется простейшим (пуассоновским) потоком однородных событий.
Введем величину ( случайный процесс) :
( t ) = sup { n : t n t } , t > 0 - число событий потока на ( 0, t )
(считающий случайный процесс).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если последовательность {t n }образует простейший (пуассоновский поток), то ( t ) – пуассоновский процесс (без анализа траекторий). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 1 t 2 |
t n – 1 t n |
|
|
Т.о. распределение числа событий для пуассоновского потока совпадают с распределением числа событий для пуассоновского процесса:
( t + r) - ( t ) , t 0 ( число событий в интервале [ t , t + ) )
Пуассоновское распределение с параметром .
Классификация систем МО. Символика Кендалла.
4 разряда
вид входящего потока |
Exp вид закона |
n количество |
N количество мест |
обслуживания обслуживающих для ожидания в
приборов и устройств очереди
-
Вид входящего потока:
M – пуассоновский
G I – рекуррентный
G – произвольный
-
Вид закона обслуживания:
распределение длительности обслуживания в каждом приборе
M – экспоненциальное
E r – эрианговское порядка r
G – произвольное
-
Количество обслуживающих приборов : n :
1 n <
отдельно n =
-
Количество мест для ожидания : N :
0 N
N = 0 { система с отказами}
N = { система с неограниченной очередью }
|
обслуживающие приборы
|
||
|
|
|
Замечание. Важные технические свойства для анализа марковских СМО – это экспоненциальные свойства.
|
поток требований
|
|
|
|
|
|||
|
|||
место в N очереди
|
|
|
|
|