Алгебраические свойства золотой пропорции

Что же это за "чудо" природы и математики, интерес к которому не только не увядает с течением времени, а наоборот - возрастает с каждым столетием. Для ответа на этот вопрос мы предлагаем напрячь все математические знания и погрузиться в мир математики - только таким путем вы сможете насладиться чудесными математическими свойствами золотой пропорции и через эти математические свойства понять и оценить всю красоту и гармонию золотой пропорции.

Начнем с алгебраических свойств "золотой пропорции". Из уравнения "золотой пропорции"

непосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень t

подставить вместо xв уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции":

Убедимся, что тождество (2) является истинным. Для этого нам необходимо осуществить элементарные математические преобразования над левой и правой частями тождества (2) и доказать, что они совпадают.

Действительно, мы имеем для правой части:

Тождество (2) может быть представлено в виде:

или

Проанализируем, например, тождество (3-b). Известно, что любое число аимеет обратное к нему число1/а. Например, дробь 0.1 является числом, обратным к 10. Традиционный алгоритм получения обратного числа1/аиз исходного числаасостоит в делении числа 1 на числоа. Это довольно сложная процедура. Попробуйте, например, путем деления получить число, обратное к числуа = 357821,093572. Это можно сделать только с помощью современного компьютера.

Рассмотрим теперь "золотую пропорцию"

Как получить из нее обратное число 1/t? Выражение (3-b) дает очень простой ответ на этот вопрос. Для этого достаточно вычесть единицу из "золотой пропорции" t.

Задача о размножении кроликов

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Пизано Фибоначчи. Позже мы расскажем о Фибоначчи и его роли в развитии западноевропейской математики более подробно. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой"задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитилметод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

Существо своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:

"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"

Для решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим черезAпару зрелых кроликов, а черезB- пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:

Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.

Дата	Пары кроликов	A	B	A + B
1-го января	A	1	0	1
1-го февраля	AB	1	1	2
1-го марта	ABA	2	1	3
1-го апреля	ABAAB	3	2	5
1-го мая	ABAABABA	5	3	8
1-го июня	ABAABABAABAAB	8	5	13

Заметим, что в столбцах АиВтаблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблицеА+В- суммарное количество кроликов.

Изучая последовательности А-,В-и(А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях:каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначитьn-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу черезF_n, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Fn = Fn-1 + Fn-2

(3)

Такая формула называется рекуррентной формулой.

Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F₁иF₂. Например, мы имеемF₁=F₂= 1 дляA-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) "генерирует" следующую числовую последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .

(4)

Для В-чисел мы имеем:F₁= 0 иF₂= 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем:F₁= 1 иF₂= 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами

Фибоначчи не стал изучать математические свойства полученной им числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

(1)

Это за него сделали другие математики. Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика "начали размножаться как фибоначчиевые кролики".

Следующая задача, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который поместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей в бытность директором Главной Палаты мер и весов России.

Суть "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Qот 0 до максимального грузаQ_max, чтобы значение максимального грузаQ_maxбыло бы наибольшим среди всех возможных вариантов? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири разрешается класть на свободную чашу весов; (2) когда гири разрешается класть на обе чаши весов.

В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а возникающий при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения "порождает" классическую двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров.

Во втором случае "оптимальной" является "троичная" система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения "порождает" так называемую троичную симметричную систему счисления, которая была использована в "троичном" компьютере "Сетунь", созданном в 50-е годы в Московском университете.

Методологическое значение "задачи о гирях" состоит прежде всего в том, что она является одной из первых "оптимизационных" задач в истории математики. Во-вторых, она касается "проблемы измерения", то есть одной из фундаментальных проблем математики. В третьих, она связана с проблемой систем счисления, одной из фундаментальных проблем современной информатики. Именно развитие этой задачи с указанных точек зрения привело в последние годы к разработке так называемой "алгоритмической теории измерения", о которой мы расскажем позже.

Но возвратимся снова к Фибоначчи и его сочинениям. Хотя Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западно-европейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно принижен. Наиболее четко значение математического творчества Фибоначчи для математики подчеркнуто русским математиком проф. А.В. Васильевым в его книге "Целое число" (1919 г.):

"Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века, когда группа талантливых итальянских математиков: Сципион дель Ферро, Иероним Кардано, Тарталия, Феррари решением кубического и биквадратного уравнения положили начало высшей алгебре".

Из этого высказывания вытекает, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи получил свое математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался "внедрить" в западно-европейскую науку. И подобно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западно-европейской математики.

В 1958 г. "опыты Фехнера" были повторены английскими учеными. Эти опыты вновь оказались весьма благоприятными для золотого сечения. Большинство испытуемых (35%) без промедления указали на "золотой" прямоугольник 21:34. Соседние к нему фигуры (2:3 и 13:23) также были оценены весьма высоко (20% - верхняя фигура и 19% - нижняя). Все остальные прямоугольники получили не более 10%.

Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии, свойственного взрослым. Отсюда было сделано заключение, что, по-видимому, ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому.

Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

В мире неживой природы действует так называемый принцип наименьшего действия. В соответствии с этим принципом система постоянно переходит от менее устойчивого к наиболее устойчивому состоянию. При этом всякое тело стремится принять такую форму, при которой оно обеспечивает минимум энергии его поверхности, совместимую с ориентирующими силами. Симметрия порождающей среды, в которой образуется тело, накладывается на симметрию тела. Получающаяся при этом форма тела сохраняет те элементы собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами симметрии среды.

Принципу наименьшего действия подчиняются все системы неорганического мира. В биологическом и растительном мире это принцип не имеет такого широкого распространения. Любое животное или растение стремятся создать такую морфологическую оболочку, которая бы была благоприятна для размножения и годна для сопротивления условиям среды.

В этом случае вступает в действие принцип экономии материи, который не действует в неорганическом мире. Ярким примером этому служит стремление живых организмов к экономии костной субстанции при распределении материи, дающее максимум прочности во всех нужных направлениях.

Кроме этого, живые организмы проявляют лишь одним им свойственный феномен - феномен роста. Неорганические кристаллы увеличиваются путем присоединения идентичных элементов; живой организм растет путем "всасывания", идущего изнутри и направляющегося наружу.

Мы имеем также еще одно коренное различие: молекулярные элементы неорганической материи, не меняются во все время существования данной совокупности, тогда как элементы, образующие живую ткань, в процессе роста сгорают, удаляются и возобновляются, сохраняя общее начертание формы организма. Например, раковина (внешний скелет морских организмов) растет, сохраняя свою первоначальную форму, несмотря на свой асимметричный рост; рога животных растут только с одного конца.