3.5.5.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных св при неизвестных дисперсиях

Более реалистичным по сравнению с предыдущим является случай, когда дисперсия рассматриваемых СВ неизвестны.

Пусть X~N( и Y~N( , причем их дисперсии неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве математических ожиданий:

При этих условиях в качестве критерия проверки Ho принимают СВ T:

(3.17)

где n,k – объемы выборок и соответственно;

При справедливости Ho построенная T имеет t-распределение Стъюдента с степенями свободы.

1)При с помощью таблицы критических точек распределения Стъюдента (приложение 2) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы определяются критические точки и

двусторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу

2)При находят критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу

3)При находят критическую точку левосторонней критической области

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу

Пример 3.5.В университете проведен анализ успеваемости среди студентов и студенток за последние 25 лет. СВ X и Y – соответственно их суммарный балл за время учебы. Получены следующие результаты:

Можно ли утверждать, что девушки в среднем учатся лучше ребят? Приyять α=0,05.

Для ответа на данный вопрос фактически необходимо проверить следующую гипотезу:

Ho=M(X)=M(Y);

По формуле (3.17) строим статистику T с учетом, n=k=25:

Поскольку , то Ho должна быть отклонена в пользу , что дает основание утверждать, что в данном университете девушки в среднем учатся лучше ребят.

3.5.6. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных св

Зачастую при сравнении двух экономических показателей на первый план выходит анализ разброса значений рассма­триваемых СВ. Например, при решении вопроса об инвести­ровании в одну из двух отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнении уровней жизни в двух странах средне­душевые доходы могут оказаться приблизительно равными. Со­поставив разброс в доходах, мы получаем более точное предста­вление о них. Анализ, аналогичный описанному выше, целе­сообразно проводить путем сравнения дисперсий исследуемых СВ.

Пусть X~N( ) и Y~N( , причем их дисперсии и неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий и :

По независимым выборкам и объемов т и k соответственно определяются (для определенности пусть , в противном случае эти вели­чины можно переобозначить).

В качестве критерия проверки Ho принимают СВ

(3.18)

определяемую отношением большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей. Если Н₀ верна, то данная статистика F имеет -распределение Фишера c степеня­ми свободы.

1)При по таблицам критических точек распределения Фишера (приложение 4 ) по уровню значимости α и числам степеней свободы определяется критическая точка - нет оснований для отклонения Ho.

Если - Ho отклоняется в пользу

2)При определяется критическая точка

Если - нет основания для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу

Заметим, что при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в качестве альтернативной гипотезы в большинстве случаев ис­пользуется гипотеза

Пример 3.6.В условиях примера 3.5 определите, есть ли основания считать, что дисперсии двух СВ X и Y существенно отличаются друг от друга (т.е. разброс оценок у студентов больше, чем у студенток).

Из условий задачи строится следующая гипотеза:

Для проверки гипотезы по формуле (3.18) определяется статистика

Критическая точка распределения Фишера Поскольку , то Ho должна быть отклонена в пользу , и имеются основания считать, что разброс в оценках у студентов данного университета существенно больше разброса в оценках у студенток.