Студентам 3 курса медико–биологического факультета Семестровая зачетная работа по курсу математики (раздел «Математическая статистика»)

2005–2006

1. Основные теоретические вопросы курса

1. Предмет и задачи математической статистики. Общая схема эксперимента. Вариационный ряд, его графическое представление, числовые характеристики.

2. Основные понятия выборочного метода. Ошибки наблюдения. Случайный повторный и бесповторный отбор. Расчет средней арифметической и выборочной дисперсии при объединении нескольких выборок

3. Точечные оценки параметров распределения и их свойства. Метод моментов для нахождения точечных оценок математического ожидания и дисперсии. Метод максимального правдоподобия для нахождения точечных оценок параметров распределения.

4. Интервальные оценки параметров.

5. Асимптотические нормальные оценки. Интервальные оценки параметров нормального распределения

6. Основные понятия теории проверки статистических гипотез. Фундаментальная лемма Неймана – Пирсона, пример ее применения.

7. Критерий проверки гипотез о параметрах нормального распределения. Критерий согласия Пирсона. Критерий Колмогорова.

8. Непараметрические критерии гипотез о различии двух распределений

9. Эмпирическая линия регрессии. Метод наименьших квадратов. Корреляционное отношение. Линейная регрессия

10. Статистическая зависимость. Оценка корреляционного момента и коэффициента корреляции. Проверка гипотез о значениях коэффициента корреляции.

11. Непараметрические методы анализа зависимости

12. Основные понятия последовательного статистического анализа. Примеры применения последовательного критерия отношения вероятностей.

13.Основные понятия теории статистических решающих функций.

14. Решающие правила для системы с двумя состояниями

15. Анализ временных рядов.

16. Анализ факторных эффектов.

2. Задачи для семестровой работы

Задание 1. Первичный анализ выборочных данных

Задачи 1 –10 . Из таблицы значений некоторого признака сделайте выборку согласно своему порядковому номеру в журнале и выполните статистическую обработку выборочных данных по следующей схеме:

1. выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения, выбрав его значений (согласно своему варианту);

2. составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на интервалов;

3. построить гистограмму распределения;

4. * найти числовые характеристики выборочной совокупности. Для упрощения вычислений перейдите к новой варианте – , значениями которой будут являться середы интервалов;

5. по результатам обработки выборочных данных выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, например, по виду гистограммы, и выполнить ее проверку, используя правило « »;

*выполнить проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, используя коэффициенты асимметрии и эксцесса

6. построить кривую нормального распределения по опытным данным, приняв в формуле Гаусса математическое ожидание и ;

7. *найти доверительный интервал для генеральной средней . Принять уровень значимости .

   1. Номера значений с 1 по 50

   2. Номера значений с 21 по 70

   3. Номера значений с 41по 90

   4. Номера значений с 61 по 110

   5. Номера значений с 81 по 130

   6. Номера значений с 101по 151

   7. Номера значений с 121по 170

   8. Номера значений с 141 по 191

   9. Номера значений со 161 по 200 и с 1по 10

   10. 10. Номера значений со 181 по 200 и с11 по 40

Таблица значений признака

№	Значения признака, полученные в результате эксперимента
1–10	84	91	87	83	90	69	100	96	79	94
11–20	93	86	81	83	84	92	93	85	84	88
21–30	63	87	87	81	95	90	69	95	96	84
31–40	82	79	88	90	92	80	81	85	81	83
41–50	84	96	86	94	85	92	79	75	94	66
51–60	88	79	89	75	92	79	78	95	84	91
61–70	91	74	73	73	85	85	76	83	76	86
71–80	71	85	92	84	90	82	90	73	89	87
81–90	72	96	85	95	91	76	94	95	84	96
91–100	77	85	103	96	97	84	78	93	92	89
101–110	83	86	96	89	87	83	79	79	95	90
111–120	77	91	87	88	89	78	86	85	78	79
121–130	82	68	71	87	89	89	81	81	70	79
131–140	88	104	91	97	77	88	86	79	86	72
141–150	77	85	93	85	87	83	76	79	90	91
151–160	84	74	76	75	93	103	80	96	100	95
161–170	102	81	75	80	90	85	82	77	94	102
171–180	87	95	99	83	80	93	90	79	93	106
181–190	95	85	84	90	93	95	98	88	79	91
191–200	86	88	93	80	103	88	90	68	89	90

Задание 2*. Корреляционный анализ

Из таблицы «Данных по странам» сделайте бесповторную механическую выборку, используя таблицу случайных чисел. Студенты, имеющие четный порядковый номер своего варианта, делают выборку значений признаков , нечетный – .

Объем выборки ограничьте 12–15 значениями

Имеются данные по странам за 1997 год:

Страна	Индекс человеческого развития,	Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997 г., лет,	Суточная калорийность питания населения, ккал на душу,
Австрия	0,904	77,0	3343
Австралия	0,922	78,2	3001
Аргентина	0,827	72,9	3136
Белоруссия	0,763	68,0	3101
Бельгия	0,923	77,2	3543
Бразилия	0,739	66,8	2938
Великобритания	0,918	77,2	3237
Венгрия	0,795	70,9	3402
Германия	0,906	77,2	3330
Греция	0,867	78,1	3575
Дания	0,905	75,7	3808
Египет	0,616	66,3	3289
Израиль	0,883	77,8	3272
Индия	0,545	62,6	2415
Испания	0,894	78,0	3295
Италия	0,900	78,2	3504
Канада	0,932	79,0	3056
Казахстан	0,740	67,7	3007
Китай	0,701	69,8	2844
Латвия	0,744	68,4	2861
Нидерланды	0,921	77,9	3259
Норвегия	0,927	78,1	3350
Польша	0,802	72,5	3344
Республика Корея	0,852	72,4	3336
Россия	0,747	66,6	2704
Румыния	0,752	69,9	2943
США	0,927	76,6	3642
Турция	0,728	69,0	3568
Украина	0,721	68,8	2753
Финляндия	0,913	76,8	2916
Франция	0,918	78,1	3551
Чехия	0,833	73,9	3177
Швейцария	0,914	78,6	3280
Швеция	0,923	78,5	3160
ЮАР	0,695	64,1	2933
Япония	0,924	80,0	2905

1. Постройте корреляционное поле и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. *Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, обратной и гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

5. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F–критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .