8.4. Условия для идентификации
Приступать к оцениванию того или иного структурного уравнения системы имеет смысл после того, как установлено его идентифицируемость.
Для установления идентифицируемости можно использовать инструментальные переменные (ИП).
В полностью определенной модели будет столько уравнений, сколько имеется эндогенных переменных.
Пусть D — число не включенных в уравнение, но присутствующих в системе экзогенных переменных, а Н — число включенных в уравнение эндогенных переменных.
Необходимое условие идентификации. Уравнение в структурной модели может быть идентифицировано, если число не включенных в него экзогенных переменных не меньше числа включенных в него объясняющих эндогенных переменных, т. е.
Н - 1 (порядковое условие).
Данное условие является необходимым, но не достаточным для идентификации.
В частности:
если D= Н- 1, то уравнение точно идентифицируемо;
если D> Н - 1, то уравнение сверхидентифицируемо',
если D <Н- 1, то уравнение неидентифицируемо.
Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в исследуемом уравнении, не меньше N - 1, где N — число эндогенных переменных системы.
Пример 8.10. Проверим на идентификацию каждое уравнение модели:
где у1 — расходы на конечное потребление текущего года;
у2 — валовые инвестиции в текущем году;
у3 — расходы на заработную плату в текущем году;
у4 — валовой доход за текущий год;
х1 — валовой доход предыдущего года;
х2 — государственные расходы текущего года;
— случайные ошибки.
В данной модели четыре эндогенные переменные (у1 у2, у3, у4), т. е. N = 4, и две экзогенные (х1, х2).
Первое уравнение: Н = 3 (у1, у3, у4 присутствуют), D= 2 (х1, х2 отсутствуют) и D = H - 1, поэтому уравнение точно идентифицируемо (необходимое условие).
Для проверки на достаточное условие идентификации выпишем матрицу А коэффициентов при переменных, не входящих в первое уравнение:
Уравнение |
у2 |
х1 |
х2 |
2 |
-1 |
а21 |
0 |
3 |
0 |
а31 |
0 |
4 |
1 |
0 |
1 |
Определитель матрицы detA= , следовательно, ранг матрицы равен 3 N- 1, т. е. достаточное условие идентификации выполняется, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Второе уравнение: Н = 2 (у2, у3 присутствуют), D = 1 (х2 отсутствует) и D= Н - 1, поэтому уравнение точно идентифицируемо (необходимое условие).
Выпишем матрицу А коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение:
Уравнение |
у1 |
у4 |
х2 |
1 |
-1 |
β14 |
0 |
3 |
0 |
β34 |
0 |
4 |
1 |
-1 |
1 |
Выполняется также достаточное условие идентификации: detА = -β34 , ранг матрицы равен 3 N- 1.
Третье уравнение: Н = 2 (у3, у4 присутствуют), D = 1 (х2 отсутствует) и D = Н - 1, поэтому уравнение точно идентифицируемо (необходимое условие).
Выпишем матрицу А коэффициентов при переменных, не входящих в третье уравнение:
Уравнение |
у1 |
у2 |
х2 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
4 |
1 |
1 |
1 |
Здесь также выполняется достаточное условие идентификации: detА = 1, ранг матрицы равен 3 N - 1.
Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны, поэтому необходимости в его идентификации нет.
Таким образом, все уравнения модели точно идентифицированы. ▲
Пример 8.11. Выполним идентификацию следующей модели:
где С— расходы на потребление;
У— совокупный доход;
I— инвестиции;
r— процентная ставка;
М— денежная масса;
G— государственные расходы;
t— текущий период;
t-1 — предыдущий период.
В данной модели четыре эндогенные переменные ( ), N = 4, и четыре экзогенных (
Для первого уравнения: Н = 2 (Сt, У, присутствуют), D = 3 ( отсутствуют) и D > H- 1, поэтому уравнение сверхидентифицируемо (необходимое условие).
Для проверки на достаточное условие идентификации выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в первое уравнение
Минор 3-го порядка данной матрицы следовательно, ранг матрицы равен 3 N – 1, т.е достаточное условие идентификации выполняется.
Для второго уравнения: H = 2 ( присутствуют), D = 3 ( отсутствуют) и D> H- 1, поэтому уравнение сверхидентифицируемо.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение:
Минор 3-го порядка данной матрицы следовательно, ранг матрицы равен 3 N – 1, т.е достаточное условие идентификации выполняется.
Для третьего уравнения: Н = 2 (Уt, rt, присутствуют), D= 3 ( отсутствуют) и D > H - 1, поэтому уравнение сверхиденти- фицируемо.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в третье уравнение:
Минор 3-го порядка данной матрицы следовательно, ранг матрицы равен 3 N – 1, т.е достаточное условие идентификации выполняется.
Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны и необходимости в его идентификации нет. Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. ▲
Выводы
Для установления идентифицируемости можно использовать ИП или условия для идентификации.
Для решения точно идентифицируемого уравнения применяется КМНК, а для решения сверхидентифицированного уравнения — ДМНК.
Для точно идентифицированной системы применение к ней КМНК или ДМНК дает одинаковые результаты.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
все уравнения системы сверхидентифицируемы;
система наряду со сверхидентифицируемыми содержит точно идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверидентифицируемы, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК.
Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.
ЛИТЕРАТУРА
Эконометрика / Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Проспект,
2009.
Эконометрика / Под ред. В. С. Мхитаряна. — М.: Проспект, 2009.
Плохотников К. Э. Основы эконометрики в пакете SТАТISТIСА: Учеб. пособие. — М.: Вузовский учебник, 2010.
Замков О. О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. — М.: ГУ ВШЭ, 2001.
Просветов Г. И. Эконометрика: Учебно-методическое пособие. — М.: РДЛ, 2005.
Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1999.
Магнус Я. Р., Катышев П. К, Пересецкий А. А. Эконометрика: Начальный курс. — М.: Дело, 2005.