Применение определителей к решению системы уравнений

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через определители, составленные из коэффициентов системы.

Два уравнения с двумя неизвестными.

1. Рассмотрим систему уравнений

A1*X +B1*Y = H1,

A2*X +B2*Y =H2.

2. Введем обозначения

Случай 1. Определитель системы не равен нулю D<>0. Тогда система имеет единственное решение.

, .

Случай 2. Определитель системы равен нулю D=0.

Если при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю, то система не имеет решения.

Случай 3. D=0, Dx=0, Dy=0. Коэффициенты и свободные члены пропорциональны. Система сводится к уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений:

2*X +3*Y=8, 7*X – 5*Y = -3.

Определители равны соответственно: D=-31, Dx=-31, Dy=-62.

3. Решение в Excel

A	B	C		D	E		F		G
ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определитель системы
2	3		-31
7	-5
Определитель Dx								X=		1
8	3		-31
-3	-5
Определитель Dy
2	8		-62					Y=		2
7	-3

Электронная таблица решения задачи в режиме просмотра формул

A		B	C		D	E			F		G
ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определитель системы
2	3			=МОПРЕД(A3:B4)
7	-5
Определитель Dx								X=		=D6/D3
8	3			=МОПРЕД(A6:B7)
-3	-5
Определитель Dy
2	8			=МОПРЕД(A9:B10)				Y=		=D9/D3
7	-3

Система имеет единственное решение: X=1, Y=2.

Пример 2. Система уравнений имеет вид:

2*X + 3*Y=8,

4*X + 6*Y = 16.

Здесь D =0. При этом Dx = 18 <>0.

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решения.

Пример 3. Система уравнений имеет вид:

2*X + 3*Y = 8,

4*X + 6*Y = 16.

Здесь D=0, Dx=0, Dy=0.

Одно уравнение есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на 2. Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле:

Y=(-2/3)*X +3/8 или X=(-3/2)*Y +4.

Три уравнения с тремя неизвестными.