Тема 12 неопределенный интеграл.

Обратная задача к задаче дифференцирования. Первообразная. Теорема о первообразных. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Разложение и интегрирование дробно-рациональных функций.

Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений вида R(sin x, cos x), где R – рациональная функция.

Тема 13. Определенный интеграл

Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Первичные свойства определенного интеграла. Оценка определенного интеграла, теорема о среднем.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций.

Тема 14. Приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Площадь криволинейного сектора. Вычисление объемов тел. Определение и вычисление длины дуги.

Вычисление работы силы.

Тема 15. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Общие понятия (определение дифференциального уравнения, решения, порядка, нормальной формы записи). Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши, теорема существования и единственности.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах.

Тема 16. Линейные дифференциальные уравнения;

однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения. Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Линейные системы дифференциальных уравнений.

Тема 17. Числовые ряды

Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак сходимости. Геометрическая прогрессия. Арифметические операции с рядами.

Признаки сходимости: теорема сравнения, интегральный признак сходимости, признак Даламбера.

Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.

Тема 18. Функциональные и степенные ряды.

Функциональные ряды. Мажорируемость. Непрерывность, почленная интегрируемость и дифференцируемость функциональных рядов.

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.

Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.