Программа курса математики для бакалавров

Тема 1. Множества. Логика.

Элемент и множество, принадлежность. Пустое множество. Равенство множеств. Задание множеств. Конечные и бесконечные множества. Подмножество, отношение включения. Операции объединения, пересечения и разности над множествами. Свойства операций. Пары, равенство пар. Декартово произведение двух множеств. Высказывания, истинность и ложность высказываний. Импликации, эквивалентные высказывания. Кванторы существования и всеобщности.

Тема 2. Числа

Натуральные числа. Цифры. Десятичная система счисления. Принцип математической индукции. Отношение делимости. Основная теорема арифметики. Деление с остатком. НОД. Целые числа. Продолжение порядка на целые числа. Кольцо чисел. Рациональные числа. Понятие поля чисел. Десятичные дроби.

Поле действительных чисел. Числовая ось. Полнота числовой прямой, аксиома о точной верхней грани. Бесконечные десятичные дроби. Определение поля . Линейная упорядоченность поля . Операции сложения и умножения над действительными числами. Следствия из аксиомы о верхней грани. Принцип Архимеда. Длина отрезка числовой оси.

Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила обращения с бесконечностью.

Тема 3. Функции

Отображение множеств. Биекции. Композиция отображений. Обратное отображение. Последовательности. Матрицы, строки. Аналитические выражения. Функции одной и нескольких переменных, в т.ч. заданные аналитическим выражением. ОДЗ и область значений функции. График функции. Основные элементарные функции. Линейные функции. Квадратные трехчлены. Многочлены. Рациональные дроби. Элементарные функции.

Тема 4. Предел и непрерывность.

Предел числовой последовательности. Предел монотонной последовательности. Свойства предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Предельный переход в неравенствах. Число e.

Предел функции. Связь предела функции и предела последовательности. Свойства предела функции.

Бесконечно малые величины (б.м.). Свойства б.м.. Сравнение б.м., эквивалентность б.м. Принцип замены б. м. на эквивалентные. Порядок малости б. м. величин. Бесконечно большие величины.

Замечательные пределы. Таблица эквивалентных б.м.

Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака. Функции непрерывные на отрезке. Принцип непрерывности.

Тема 5. Производная. Техника дифференцирования.

Определение и уравнение касательной. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Таблица производных. Дифференцирование неявно заданных функций. Логарифмическая производная. Дифференциал.

Частные производные ф.м.п.

Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма, теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Лопиталя. Сравнение роста на бесконечности логарифмической функции, степенной и показательной функций.

Формула Тейлора -- локальная и с остаточным членом в форме Лагранжа. Производные и дифференциалы высших порядков. Оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Формула Маклорена.

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (экспонента, гармоники, бином Ньютона, логарифм).

Тема 7. Исследование функций

Экстремумы. Исследование функции по первой производной – определение участков возрастания и убывания. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой функции на отрезке.

Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Асимптоты, их определение и способы отыскания.