2.Дебаевская теория

Конечно, эти осцилляторы не могут быть независимыми. Реальная модель такая: мы имеем атомы, связанные пружинками, конечно они могут колебаться, но это не независимые осцилляторы. Это представляется ужасным делом, но на самом деле это решаемая задача. Мы же ещё упростим картину.

Моделью нашего твёрдого тела будет сплошное упругое тело. Тогда тепловое возмущение будет представляться распространением возмущения, то есть стоячими звуковыми волнами. Электромагнитному полю ставятся в соответствие частицы фотоны, точно так же звуковым волнам в этой упругой среде ставятся в соответствие частицы фононыс энергиейи импульсом. Подобно тому как электромагнитным волнам ставится в соответствие идеальный фотонный газ, возбуждению звуковых волн в твёрдом теле ставится в соответствие идеальный фононный газ. И тогда справедлива формула

В твёрдом теле, в отличие от электромагнитных волн, которые имеют два состояния поляризации, может идти продольная волна и поперечная с двумя состояниями поляризации, поэтому появился множитель . Для фонона. И ещё одна тонкость – для фонона три состояния волны имеют разные скорости, но мы будем считать, что они одинаковы.

Тогда внутренняя энергия кристалла изобразится как интеграл:

Для фотонов верхний предел был , а здесь мы имеем дело с кристаллом, там длина волны меньше чем атомные расстояния, значит надо где-то оборвать интеграл.мы определим из условия, что полное число состояний должно равняться 3N, числу собственных колебаний.

Попробуем найти классический предел (классическая механика всегда является предельным случаем квантовой).

здесь , а– дебаевская температура.

При и, соответственно теплоёмкость. Это первое подтверждение теории. При больших температурахи мы получаем. Мы получили классический результат!

3. Твёрдое тело. Решётка Браве. Обратная решётка

Чем замечателен идеальный кристалл? Тем, что в нём возможны сдвиги, при которых вся эта структура переходит в себя (в узлах могут быть сложные группы атомов, они тоже переходят в себя).

Кристалл– это трёхмерная структура, три вектора, не лежащих, естественно, в одной плоскости, такие, что при сдвиге на вектор, гдеn₁,n₂,n₃– любые целые числа, структура переходит в себя, задают элементарную ячейку кристалла, объём этой ячейки равен

Данной решётке ставится в соответствие обратная решёткас такими условиями:. Объём ячейки обратной решётки из геометрических соображений будет равен.

Симметрия кристалла позволяет получить важную теорему Блоха: волновые функции стационарных состояний электронов в твёрдом теле имеют вид , при этом пространственная функцияобладает таким свойством периодичности:.

Что эта волновая функция из себя представляет в одномерном случае? Функция для частицы в пустом пространстве это плоская волна, её амплитуда промодулирована вот такой пространственной функциейс периодом решётки, амплитуда должна быть больше в местах нахождения атомов и меньше там, где их нет, то есть в промежутках.

Вот примерно такая волновая функция электронов, она максимальна в окрестности атома, там плотность вероятности обнаружить электрон больше, но в общем-то она не равна нулю в межатомных промежутках. Это просто означает, что электроны в твёрдом теле уже не принадлежат атомам, каждый электрон – житель всей этой решётки, волновая функция электрона размазана по всему образцу. Понятно почему: атомы это соседние потенциальные ямы, разделённые потенциальным барьером, но есть туннельный эффект.