- •§1. Введение
- •§2. Взаимодействие света с веществом. Корпускулярные свойства света
- •1. Внешний фотоэффект
- •2. Эффект Комптона
- •3. Давление света
- •§3. Тепловое излучение
- •Абсолютно чёрное тело
- •2. Закон Кирхгофа
- •3. Закон Вина
- •4. Закон Стефана-Больцмана
- •Элементы квантовой механики
- •§4. Волновые свойства частиц
- •1.Волновая функция
- •§5. Уравнение Шрёдингера
- •1. Решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы
- •2. Длина волны Дебройля (де Бройля)1)
- •3. Волновые пакеты. Соотношения неопределённостей
- •4. Расплывание волновых пакетов
- •5. Стационарные состояния
- •6. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •7. Связанные состояния. Частица в ящике
- •§6 Постулаты квантовой механики
- •1. Векторы и операторы
- •2. Постулаты квантовой механики
- •3. Операторы динамических переменных. Координатное представление
- •4. Оператор энергии
- •5. Оператор импульса
- •6. Момент импульса (собственные векторы, собственные значения)
- •7. Спин.
- •8. Средние значения динамических переменных
- •9. Изменение со временем
- •10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле
- •11. Система тождественных частиц
- •§7. Квантовая статистика
- •3. Число состояний частицы в определённом интервале энергий. Распределение по энергиям
- •4. Равновесное электромагнитное излучение в полости
- •§8. Твёрдое тело
- •1. Классическая теория теплоёмкости. Модель независимых осцилляторов
- •2.Дебаевская теория
- •3. Твёрдое тело. Решётка Браве. Обратная решётка
- •4. Зоны энергии
- •5. Уравнения движения электронов в твёрдом теле
- •6. Проводимость твёрдых тел
- •7. Проводники, полупроводники и изоляторы.
8. Средние значения динамических переменных
Мы уже видели, что теория отказывается предсказывать, что мы получим в результате измерения той или иной величины, она предсказывает лишь вероятности того, что будет получено то или иное значение. В связи вот с этим вероятностным характером возникает вопрос, каково среднее значение переменной? Ответ на это простой. Пусть мы имеем какую-то переменную A, и этой переменной соответствует оператор , тогда среднее значение переменнойAв состоянии (угловыми скобками будем обозначать) будет определяться так:
.
Откуда берётся такой результат? Пусть , т.е. – собственные векторы оператора , аan– соответствующие собственные значения. Вектор можно представить в виде разложения по собственным векторам оператора : . Тогда
=
а – это вероятность получить при измерении переменнойAв состоянии значениеan. Возможные значения умножаются на вероятность и суммируются по всем возможным значениям, а это то, что в математике называется математическое ожидание, это и есть среднее значение данной величины.
9. Изменение со временем
Если состояние меняется со временем, это означает, что среднее значение тоже может меняться со временем. Напишем:
(это уравнение движения, пятый постулат)
(это сопряжённое уравнение)
И это изобразится, наконец, так:
12
Будем считать, что , тогда.
Если , то.
В координатном представлении:
Связь с классической механикой
,
Где классическая механика верна? Там, где можно пренебречь соотношениями неопределённостей!
(отлична от нуля в маленькой области)
10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле
Пусть , т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда. Гамильтониан в координатном представлении имеет вид. Пишем уравнение на собственные векторы:
В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид
,
где содержит слагаемые с производными по переменными.
Можно показать, что оператор квадрата момента импульса и гамильтониан коммутируют: . Физически это означает, чтоL2сохраняется. Итоже, значит операторыимеют общие собственные векторы.
Положительно заряжённое ядро создаёт поле или в более общем виде. Вектор, где,,, будет решением уравнения на собственные векторы гамильтониана, при чём
Вектору в координатном представлении отвечает функция.
Стационарное состояние электрона в атоме водорода задаётся тремя числами n,l,m, эти числа определяют энергиюEn, момент и проекцию импульса соответствующие этому состоянию, при чём. Это вследствие того, что.
Бор постулировал, что существуют орбиты, на которых электроны не излучают и ещё
1) , гдеn– номер орбиты,
2) .
Из этих постулатов следует, что
и.
При Z= 1 (водород) иn= 1.
11. Система тождественных частиц
Пусть система состоит из Nчастиц, а её состояние задаётся векторомтогда соответственно
(вероятность обнаружить частицу в элементе объёма) =.
,
,
где .
В квантовой механике частицы одного сорта тождественны, принципиально неразличимы (рис. 11.1). Пусть у нас имеется две частицы, тогда
Как это может быть? Так как модуль вектора постоянен, то вектор может только вращаться вокруг начала координат:. Из условия нормировки следует:, это выполняется только в двух случаях:и. Так как, возможны две ситуации:
1. , волновая функция симметрична относительно перестановки пары тождественных частиц, такие частицы называютсябозоны;
2. , этофермионы.
Принцип Паулигласит, что два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии.