Приложение г Переходные процессы в цепях первого порядка

Процессы, происходящие в электрических цепях в результате коммутаций, базируются на законах коммутации. В соответствии с законами ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе скачком изменяться не могут. Таким образом, в момент коммутации t = +0 величины тока индуктивности и напряжения емкости равны соответственно их величинам в момент непосредственно предшествующий коммутации t = -0:

i_L(+0) = i_L(-0)

U_C(+0) = U_C(-0)

Данные значения не зависят от типа коммутации и называются независимыми начальными условиями. Определяются они из докуммутационной схемы.

Все остальные токи и напряжения, являясь зависимыми начальными условиями, в момент коммутации могут изменяться скачком. Они определяются из уравнений, составленных по законам Кирхгофа, для схемы после коммутации при t = +0 с учетом найденных ранее i_L(+0) и U_C(+0).

По истечении определенного времени, которое называется временем переходного процесса, в схеме устанавливаются новые значения токов и напряжений на элементах. Расчет установившихся реакций в цепи после коммутации проводится для послекоммутационной схемы тем методом, который соответствует режиму работы схемы (на постоянном токе или на переменном токе). Для цепей постоянного тока всегда выполняется условие:

i_C() = 0,

U_L() = 0

Для цепей переменного тока все мгновенные значения токов и напряжений в установившихся режимах на элементах опреределяются из решения схемы в комплексных изображениях.

Длительность переходных процессов зависит от параметров элементов и определяется через постоянную времени. Постоянная времени характеризует время, за которое все функции схемы изменяются в «exp» раз.

В активно индуктивных схемах постоянная времени соответствует отношению: L/R.

В активно емкостных схемах постоянная времени соответствует произведению: RC.

При истечении 3 – 5 значений постоянной времени переходный процесс заканчивается.

Для определения ЗНУ на основании законов Кирхгофа составляется система дифференциальных уравнений относительно выбранных переменных - токов и напряжений для цепи после коммутации.

При составлении и решении характеристического уравнения можно определить корни уравнения, определяющие закон изменения свободной составляющей.

Полный закон изменения искомой функции выглядит так:

В схемах с одним элементом накопления энергии корень всегда отрицательный и вещественный и определяет апериодический закон изменения свободной составляющей:

Постоянная интегрирования «А» соответствует разности начального(t=0+) и установившегося(t=∞) значений искомой функции.

При выполнении всех задач по анализу переходных процессов требуется построение графиков изменения токов и напряжений во времени.

При точном построении графиков рассчитывается определенное количество точек, принадлежащих кривым через заданные интервалы времени (шаг расчета).

Для построения экспоненциальных функций обычно задают значения времени .Этих значений вполне достаточно, так как при свободная реакция уменьшается примерно в 50 раз по сравнению с начальным значением.

Приближенное построение кривых состоит в том, что вначале строят отдельно установившуюся и свободную реакции и затем суммируют их координатно в соответствии со схемой. Если х_св(t) определяется экспоненциальной функцией, то с достаточной для практики точностью кривую можно построить, используя свойство экспоненты. Это свойство состоит в том, что отрезок под касательной в любой точке кривой равен .

Следует заметить, что все функции на интервале переходного процесса изменяются с одинаковой скоростью, то есть связаны друг другом во времени.