Н.Н.Сальников

Краткие сведения из теории вещественного трехмерного пространства

Геометрия пространства, в котором рассматриваются различные физические процессы в сплошных средах, может быть описана с использованием трехмерного вещественного евклидового пространства . Элементами или векторами этого пространства являются упорядоченные тройки вещественных чисел

, (1)

которые представляют собой координаты некоторой точки физического пространства в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат. Сложение двух векторов и , а также умножение вектора на вещественное число , определяются следующим образом

, (2)

(3)

Скалярное произведение двух векторов и находится с помощью выражения

. (4)

Из этого определения следует, что скалярное произведение представляет собой вещественную функцию двух векторных аргументов и , линейную по каждому из этих аргументов.

С помощью скалярного произведения можно определить длину вектора , т.е. расстояние от начала координат до точки с координатами ,

, (5)

а также угол между векторами и с помощью следующего соотношения

(6).

Если один или оба из этих векторов равны нулю, то полагают . Соотношение (5) естественно позволяет определять расстояние между двумя точками пространства, задаваемыми с помощью векторов и , а именно,

.

Соотношение (5) является, по сути, теоремой Пифагора, а (6) является следствием известной из курса геометрии теоремы косинусов. Теорема Пифагора является математическим результатом, который справедлив в определенных математических рамках. Однако экспериментально установлено, что теорема Пифагора с большой точностью справедлива в том физическом пространстве, в котором мы живем и/или исследуем некоторые физические процессы, причем для достаточно больших (космических) расстояний. Именно поэтому евклидовое пространство используется при исследовании и описании этих процессов.

Будем называть вектор единичным, если его длина . Два ненулевых вектора и будем называть ортогональными, если .

Числа в выражении (1) являются координатами вектора в базисе , составленном из векторов

(7)

т.е.

.

Здесь и везде далее в записи предполагается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам.

Можно убедиться, что векторы и являются единичными и попарно ортогональными. Такой базис называется ортонормированным.

В пространстве можно задавать различные базисы, в общем случае неортогональные и ненормированные, задаваемые тремя линейно независимыми векторами . Это будет соответствовать заданию различных в общем случае декартовых косоугольных систем координат в одном и том же физическом пространстве. При этом координаты , , вектора

, (8)

или коэффициенты разложения вектора по векторам базиса , определяются однозначно. Это следует из линейной независимости векторов . Числа , , совпадают с координатами точки, определяемой вектором , в системе координат, соответствующей векторам В дальнейшем волну над координатами писать не будем, если это не будет вызывать путаницу.

Скалярное произведение , выраженное через координаты векторов и в новом базисе, запишется в виде

, (9)

в силу свойства линейности скалярного произведения по каждому аргументу. В выражении (9), как уже отмечалось, предполагается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам. В (9) обозначено

, . (10)

Для вычисления чисел очевидно необходимо знать координаты векторов и в исходном ортонормированном базисе , и воспользоваться определением скалярного произведения (4). Набор чисел представляет собой компоненты метрического тензора в базисе .