Операції над матрицями
Елементами матриць і векторів служать елементи деякої числової системи, такі як дійсні числа, комплексні числа або, наприклад, цілі числа по модулю простого числа. Числова система визначає, яким чином повинні складатися і перемножуватися числа. Ці визначення можна розповсюдити і на матриці.
Визначимо додавання матриць (matrix addition) таким чином. Якщо А = () і В = (bij) - матриці розміром m х n, то їх сумою є матриця C = (cij) = А+В розміром m х n, яка визначається співвідношенням cij = аij + bij для і = 1,2,.., m і j = 1,2,.., n. Іншими словами, складання матриць виконується поелементно. Нульова матриця нейтральна по відношенню до складання матриць: А + 0 = А = 0 + А.
Якщо λ — число, a А = (aij) — матриця, то співвідношення λА = (λ aij) визначає скалярний добуток (scalar multiple) матриці на число, яке також виконується поелементно. Частковим випадком скалярного добутку є множення на -1, яке дає протилежну (negative) матрицю -1 ∙ А = -А, що має ту властивість, що: А + (-А) = 0=(-А)+А.
Відповідно, можна визначити віднімання матриць (matrix subtraction) як складання з протилежною матрицею: А - В = А + (- В).
Матричне множення (matrix multiplication) визначається наступним чином. Матриці А і В можуть бути перемножені, якщо вони сумісні (compatible) в тому сенсі, що число стовпців А дорівнює числу рядків В (у загальному випадку вираження, що містить матричний добуток АВ, завжди подразумевает сумісність матриць А і В). Якщо А = (аij) - матриця розміром m х n, а В = (bij) - матриця розміром n х р, то їх добуток C = АВ представляє собою матрицю C = (Cij) розміром m х р, елементи якої визначаються рівнянням:
Матриці мають багато (але не усі) властивостей алгебри, притаманні звичайним числам. Одинична матриця є нейтральним елементом по відношенню до множення:
Множення матриць асоціативне: А (ВС) = (АВ) С, для будь-яких сумісних матриць А, В і С. Множення матриць дистрибутивне відносно складання: А(В + С) = АВ + АС, (В + С)D = BD + СD.
Для n > 1 множення матриць розміром n х n не комутативна. Наприклад, якщо
Завдання до виконання
Скласти програму, яка вирішує задачу обробки двомірного масиву з такими додатковими умовами:
• розмірність матриці повинна вводитися при виконанні програми; • саме рішення задачі має бути оформлено у вигляді процедури або функції, якій передається матриця та її розмірність.
Зміст звіту
Тема, короткі теоретичні відомості.
Завдання згідно варіанту.
Блок-схема.
Текст програми.
Результат роботи програми (скріншоти).
Висновки.
Варіант №1
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Повернути матрицю на 90o за годинниковою стрілкою. |
|
Варіант №2
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Відобразити матрицю симетрично відносно головної діагоналі |
|
Варіант №3
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від лівого верхнього кута по спіралі: вправо - вниз - вліво - вгору. |
|
Варіант №4
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від центру по спіралі: вліво - вниз - вправо - вгору. |
|
Варіант №5
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. На головній діагоналі розмістити суми елементів, які лежать на тому ж рядку і тому самому стовпці. |
|
Варіант №6
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від лівого верхнього кута по діагоналі: праворуч - вгору. |
|
Варіант №7
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити сектори матриці, які лежать вліво і вправо від головної і побічної діагоналей, від лівого верхнього кута вниз - вправо. Залишок матриці заповнити нулями. |
|
Варіант №8
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Відобразити симетрично щодо вертикальної осі сектори матриці, які лежать вліво і вправо від головної і побічної діагоналей. |
|
Варіант №9
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від лівого нижнього кута по діагоналі: ліворуч - вгору. |
|
Варіант №10
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Відобразити головну і побічну діагоналі симетрично щодо вертикальної осі. |
|
Варіант №11
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Розмістити на головній діагоналі суми елементів, які лежать на діагоналях, перпендикулярних до головної. |
|
Варіант №12
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Відобразити верхню половину матриці на нижню дзеркально симетрично щодо горизонтальної осі. |
|
Варіант №13
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Розбити матрицю на квадрати розміром 3х3. У центрі кожного квадрата помістити суму інших елементів квадрата. |
|
Варіант №14
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Показати праву половину матриці на ліву дзеркально симетрично щодо вертикальної осі. |
|
Варіант №15
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити сектори матриці, які лежать вліво і вправо від головної і побічної діагоналей, від лівого верхнього кута вправо - вниз. Залишок матриці заповнити нулями. |
|
Варіант №16
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Повернути матрицю на 90o проти годинникової стрілки. |
|
Варіант №17
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Відобразити матрицю симетрично щодо побічної діагоналі |
|
Варіант №18
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від лівого верхнього кута по спіралі: вниз - вправо - вгору - вліво. |
|
Варіант №19
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від центру по спіралі: вниз - вліво - вгору - вправо. |
|
Варіант №20
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. На побічної діагоналі розмістити суми елементів, які лежать на тому ж рядку і стовпці. |
|
Варіант №21
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від лівого верхнього кута по діагоналі: ліворуч - вниз. |
|
Варіант №22
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити сектори матриці, які лежать вище і нижче головної і побічної діагоналей, від лівого верхнього кута вправо - вниз. Залишок матриці заповнити нулями. |
|
Варіант №23
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Відобразити симетрично щодо горизонтальної осі сектори матриці, які лежать вище і нижче головної і побічної діагоналей. |
|
Варіант №24
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю, від правого верхнього кута по діагоналі: ліворуч - вниз. |
|
Варіант №25
Зміст завдання |
Ілюстрація |
Заповнити матрицю випадковими числами. Повернути матрицю на 180o. |
|
