Практическая работа №2

Тема: Функции и отображения.

Задание №1

Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию ƒ ◦ g, g ◦ ƒ, обратные (слева и справа) отображения: ƒ^–1, g^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B  ℝ найдите f(A), g(A), ƒ ^–1(B), g^-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

и , A = [0; 3] и B = [ ‑1; 0].

Решение: область определения отображения f – это множество таких значений х, для которых имеется вещественное число у такое, что у=f(x). И, так как для любого вещественного числа х найдется число у с указанным свойством, то пр₁f = ℝ – множество всех вещественных чисел.

Аналогично, область определения отображения g: пр₁g = ℝ.

Область значений отображения f – это множество всех образов элементов хпр₁f. Тем самым, пр₂f ={y ℝ.: y  -1 }. А область значений отображения g – это множество всех вещественных чисел, т.е. пр₂g = ℝ.

Отображение g является инъективным, поскольку для каждого упр₂g, имеется ровно один х пр₁g (или каждый образ имеет ровно один прообраз). Отображение f инъективным не является, т.к. для некоторых упр₂f, имеется более одного прообраза, например: для у=0 прообразами будут х=1 и х=3.

Отображение g является сюрьективным, поскольку для каждого упр₂g, имеется хотя бы один хпр₁g (или каждый образ имеет хотя бы один прообраз). Отображение f также является сюрьективным, т.к. для каждого упр₂f, имеется хотя бы один хпр₁f такой, что у = f(x).

Так как g одновременно инъективно и сюрьективно, то оно является биективным отображением.

Найдем композицию отображений:

(f∘g)(x) = f(g(x)) = (g(x)–2)²–1 = (1–x–2)² –1 = (–x–1)² – 1=(x+1)²–1,

(g∘f)(x) = g(f(x)) =1– f(x) = 1 – (x–2)² +1 = 2 – (x–2)².

Отображение f обратимо справа, как сюрьекция. И , где y –1. Из выражения найдем x. Тогда и , где y –1.

При этом, (f∘f ^‑1)(у) = f(f ^‑1(y))= – тождественное отображение при y  ‑1.

Отображение g обратимо как слева, так и справа, как биекция. И , где y любое. Из выражения следует: . И при этом: (g∘g^‑1 )(у) = g(g^‑1(y)) = 1 – ( 1– y ) = y и (g^‑1∘g )(х) = – тождественные отображения.

По свойствам композиции

f(A) = { y = f(x), где xA }, поэтому f(A)=[–1; 3].

Аналогично, g(A) = { y = g(x), где xA } = [–2; 1].

Найдем неподвижные точки. По определению это такие х, что: f(x)=x и g(x)=x. Таким образом, x = (x–2)²–1. Отсюда x²–5x+3=0 и т. к. дискриминант D=25–12=13>0, то – две неподвижные точки f(x).

Из g(x)=x следует, что x=1–x и – неподвижная точка g(x).

Задание №2

Найти композицию соответствий S Г и множества B,C, если известно множество А={1,2,3,4}, законы R=2x+3 и G=y², Г=(G,A,B), S=(R,B,C).

Решение:

По определению композиция это: S∘Г=(R∘G, А, С), в свою очередь, композиция законов это: R∘G={(x,z): yB и (x,y)G и (y,z)R}. Значит, для нахождения композиции графиков нужно в график R вместо переменной x подставить график G: R G=2y²+3. Для получения значений элементов множества В, нужно применить закон G к элементам множества А: В={1²,2²,3²,4²}={1,4,9,16}. Получение значений элементов множества С возможно двумя способами: первый – применить закон R к элементам множества В: С={2 }={5, 11, 21, 35}; второй – применить композицию графиков ко множеству А.: C={ }={5, 11, 21, 35}. Результаты двух способов совпадают. Все компоненты найдены и композиция соответствий будет иметь вид: S Г=(2y²+3, {1,2,3,4}, {5,11,21,35})

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию (ƒ ◦ g), (g ◦ ƒ), обратные (слева и справа) отображения: ƒ^–1, g^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B  ℝ найдите f(A), g(A), ƒ ^–1(B), g^-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

Задание №2

Найти композицию соответствий S Г и множества B,C.

Варианты заданий:

Вариант №1

1.

• f=cos(x), g=cos(x)-0.5, A=[- ,], B=(- ]

• f=(x-1)/3, g=y³, A=[-1,2], B=(1,3]

• f=x-3, g=(y+1)², A=[1,12], B=(-4,0)

2.

• A={-2,-4,2,4}, R=x²-1, G=y+2

• A= , R=x/2, G=y²/2

Вариант №2

1.

• f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]

• f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[11,0]

• f=x, g=3y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y²

• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №3

1.

• f=2sin(x), g=1+cos(x), A=[- ,], B=(- ]

• f=x, g=(y²+2)/2, A=[-1,1], B=[5,8]

• f= +x, g=y-2, A=[-1,1], B=(-1,1)

2.

• A={0,1,2,3,4}, R=x+1, G=(y+1)²

• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №4

1.

• f=sin(x)/3, g=cos(x/3), A=[- ,], B=[- ]

• f=x³-x, g=1- , A=(-1,4), B=[-3,6]

• f=2x, g=y²/3, A=(-5,1), B=[0,-1)

2.

• A={1,3,5,7}, R=x-3,G=(y+5)/3

• A= , R=x+1, G=2y²

Вариант №5

1.

• f=sin(x/2), g=2cos(2x), A=[0, ), B=(- )

• f= , g=y, A=[-2,4], B=(1,10)

• f=-x², g=1/y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={-4,-3,-2,-1}, R=(x-1)²,G=y+1

• A= , R=2x G=y²/2

Вариант №6

1.

• f=sin²(x) g=2cos(x), A=[- ,], B=(-2 ]

• f=x²+1, g=(y+2)/(2-y), A=[-2,2], B=[-6,0)

• f=2x/(1-x²), g=y+3, A=[0,1], B=(-2,0)

2.

• A={1/3,1/9,1/12,1/15}, R=3x, G=y²

• A= , R=1/(x+2), G=y/(1-y)

Вариант №7

1.

• f=sin(x)/2+sin²x, g=cos(x), A=[ ,], B=(- ]

• f=1-x²/2, g=y+2, A=(0,4), B=[-3,3]

• f= , g=y/3, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={3,5,9,10}, R=2x, G=1/y;

• A= , R=x+4, G=y/(y+1)

Вариант №8.

• f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]

• f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[-11,0]

• f=x, g=3y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y²

• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №9

1.

• f=sin(x)-1, g=(2cos(x))/3, A=[- ,], B=(- ]

• f=x+х², g=5y+2, A=[-3,3], B=[-4,0]

• f=x/3+1, g=(y+1)², A=(-3,-1), B=(-1,1)

2.

• A={-21, -14, -7, 0, 7, 14, 21}, R=x/7,G=y+7

• A= , R=x+1, G=y/2

Вариант №10

1.

• f=х/2+sin(x), g=cos(x)+cos(x/3), A=[ ,], B=(- ]

• f=2x-х/4, g=y+у², A=(-2,2), B=[1,10]

• f=(x+4)/3, g=y²/2, A=(0,1], B=[1,2)

2.

• A={-1, 1, -2, 2, -3, 3}, R=x, G=y²

• A= , R=2x, G=3y

Вариант №11

1.

• f=sin(x)-2tg(x), g=cos(x)-cos(2)/2, A=[ ,], B=(- ]

• f=(3/x)+(x/3), g=y-y², A=[-3,3], B=[6,9]

• f=2+x, g=3y-1, A=(-2,1), B=(4,1)

2.

• A={0,5,10,15,20}, R=x-5, G=y/5

• A= , R=2x, G=y+2

Вариант №12

1.

• f=tg(3x), g=sin(x)+1, A=[- ,], B=(- )

• f=2x-1, g=1/(y+1), A=(0,2), B=[-3,2]

• f=x-4, g=3y/2, A=(1,1], B=(-4,4)

2.

• A={-1,-3,-5,-7,-9}, R=x+1,G=y/2

• A= , R=x/3, G=y²

Вариант №13

1.

• f=3sin(x), g=sin(x/3), A=[- ,], B=(- ]

• f=3/(x-2), g=y²+3, A=[-1,0], B=(2,12)

• f=x³, g=y-7, A=(-8,8], B=[1,7]

2.

• A={-8, 8, 15, 22, 29}, R=x-1,G=y/7

• A= , R=3x-2, G=2y²

Вариант №14

1.

• f=cos(x), g=tg(x)-1, A=[- ), B=[ ]

• f=1/x, g=y+4, A=[3,7], B=[-7,2]

• f=x⁴, g=2y-2, A=[-10,1], B=[0,5)

2.

• A={5, 3, 6, 4, 2}, R=2x-1,G=y+4

• A= , R=x+2, G=y/3

Вариант №15

1.

• f=(sin(x))/3, g=3cos(x), A=[- ], B=( ]

• f=x²-3, g=(y+2)², A=[2,5], B=(-3,-1)

• f=6x-1, g=4-y², A=(-4,4], B=[2,8)

2.

• A={1/3, 1/6, 1/9, 1/12}, R=(3x)², G=y-3

• A= , R=4x, G=y²-2

Вариант №17

1.

• f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]

• f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[11,0]

• f=x, g=3y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y²

• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №18

1.

• f=sin(x)+cos(x), g=tg(x)/3, A=[- ,], B=( )

• f=x², g= , A=[1,4], B=[3,9]

• f=2+x, g=y²/3, A=[-4,4), B=[-2,2]

2.

• A={1/2, 1/3, 1/4, 1/5}, R=3x, G=y+3

• A= , R=2x, G=y/2

Вариант №19

1.

• f=sin(x), g=2ctg(x), A=[ ,], B=(- )

• f=(x/3)+(x/5), g=4y, A=(-1,4], B=[0,9]

• f=x+1, g=y²+4, A=(-6,6], B=[-5,1)

2.

• A={-5, 5, -6, 6, -7, -8, 8}, R=x+4, G=y²

• A= , R=x-5, G=y/3

Вариант №20

1.

• f=tg(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]

• f=x, g=y, A=[-1,1], B=(-3,3)

• f=2x/(x+3), g=y/3, A=(3,4], B=[-2,5)

2.

• A={-1, -2,-3,-5,-7,-11, -13}, R=4x,G=y/2

• A= , R=(x-1)², G=y

Практическая работа №3

Тема: Отношения.

Задание №1

Даны множества и два бинарных отношения: и . Найдите Р₁^-1, Р₂^-1, Определите, является ли отношение Р₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

P₁={(a,1); (a,3); (b,2); (c,1); (c,4)}

P₂={(1,1); (1,3); (2,2); (2,1); (2,4); (3,3); (4,1); (4,4)}

Решение: По определению обратное отношение . Таким образом, Р₁^-1={(1,a); (3,a); (2,b); (1,c); (4,c)} и P₂^-1={(1,1); (3,1); (2,2); (1,2); (4,2); (3,3); (4,4); (1,4)}.

По определению композиции бинарных отношений

Таким образом, ={(a,1); (a,3); (b,2); (b,1); (b,4); (c,1); (c,3); (c,4)}.

Тогда ^-1={(1,a); (3,a); (2,b); (1,b); (4,b); (1,c); (3,c); (4,c)}.

={(1,a); (1,c); (3,a); (3,c); (2,b); (1,b); (4,b); (4,c)}

Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции.

Отношение Р₂ рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности .

Отношение Р₂ не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар (x, y) и (y, z), таких что (x, y) следовало бы, чтобы пара . Однако это не так. Например, пары (2,1) и (1,3)  Р₂, но пара (2,3)  Р₂.

Отношение Р₂ не является симметричным, т. к. по определению симметричности для любой пары (x, y)  Р₂ должно быть и (y, x)  Р₂ . Однако это не так. Например, пара (1,3) Р₂ , но пара (3,1)  Р_2.

Отношение Р₂ антисимметрично, поскольку для любой пары (x, y)  Р₂ такой, что (y, x)  Р₂ обязательно следует, что x=y.

Задание №2

Дано бинарное отношение P  ℕ² и P = { (x, y): x mod y = 2 }, где «mod» – операция нахождения остатка от деления x на y.

Найдите область определения и область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным? Является ли оно отношением эквивалентности или упорядоченности?

Решение: областью значений отношения Р является множество таких натуральных чисел y, что в остатке от деления на y может быть получено значение 2. В качестве такого делителя y можно взять любое натуральное число >2. Таким образом, пр₂ Р = { y  ℕ: y  3 } – область значений.

Область определения отношения Р – это множество тех натуральных чисел x, для которых может быть получен остаток, равный 2, при делении на y  3. Выразим x через y: x=k^.y+2, где k=0,1,2,… и y  3. Отсюда возможными значениями x являются числа: 2, 5, 6, 7, 8,… Таким образом, пр₁ Р={2,5,6,7,8,9,…}=ℕ \ {1,3,4} – область определения.

Отношение Р не является рефлексивным, т. к. для всех x  ℕ (x, x)  P. Действительно, x  ℕ  x mod x = 0.

Отношение Р не является транзитивным, т. к. существуют такие пары (x, y)P и (y, z)P, но (x, z)P. Например, пары (7,5) и (5,3) обе Р, но пара (7,3)Р, т. к. 7 mod 3 = 1.

Отношение Р не является симметричным, поскольку существуют такие пары, что (x, y)P , но (х, у)Р . Например , пара (7,5)Р , но (5,7)Р, т.к. 5 mod 7=5.

По определению антисимметричности для всех таких пар (х, у), что (у, х)Р и (х, у)Р обязательно следует, что х=у. Но для заданного отношения Р не существует пар (х, у) таких, что (х, у)P и (у, х)Р, поскольку равенство (х mod y = y mod x =2) не выполняется ни при каких х, уℕ. Поэтому данное отношение Р является антисимметричным.

По набору свойств отношение Р не является ни отношением эквивалентности, ни отношением упорядоченности.

Задания для самостоятельного решения

Задание №1

Даны множества и два бинарных отношения: и . Изобразите Р₁, Р₂ графически. Найдите Р₁^-1, Р₂^-1, Определите, является ли отношение Р₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

Задание №2

Найдите область определения и область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным? Является ли оно отношением эквивалентности или упорядоченности?

Варианты заданий:

Вариант №1

1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (а, 4); (b, 3); (с, 1); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 3); (2, 2); (3, 4); (1, 4); (2, 4); (4, 2)}

2. P  ℝ ² и Р = {(x, y) : x · y > 1, где x, y  ℝ – вещественные числа }

3. P  ℝ ² и Р = {(x, y) : 3x- y < -1, где x, y  ℝ – вещественные числа }

Вариант №2

1. Р₁ = {(b, 2); (а, 3); (b, 1); (b, 4); (с, 1); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 4)}

2. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x² + y² = 1, где x, y ℝ– вещественные числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : -2xy = 1, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №3

1. Р₁ = {(а, 3); (а, 2); (а, 4); (b 1); (с, 2); (с, 4); (с, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 1); (3, 3); (4, 4); (4, 3); (1, 4); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}

2. P  ℝ² и Р = {(x, y) : y = |x|, где x, y ℝ– вещественные числа }

3. P  ℝ² и Р = {(x, y) :x-2 y = x+2y, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №4

1. Р₁ = {(b, 1); (а, 3); (а, 4); (с, 2); (с, 4); (b, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 3); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (3, 4); (4, 2); (4, 4)}

2. P  ℝ² и Р = {(x, y) : x² + x = y² + y, где x, y Îℝ– вещественные числа }

3. P  ℝ² и Р = {(x, y) : x = y-4, где x, y Îℝ– вещественные числа }

Вариант №5

1. Р₁ = {(а, 2); (а, 4); (b, 1); (b, 2); (b, 4); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (4, 4); (3, 2); (1, 3); (4, 1)}

2. P Í ℝ² и Р = {(x, y) : x – y ℤ, где x, y Îℝ– вещественные числа }

3. P  ℝ² и Р = {(x, y) : x² + x = y² , где x, y Îℝ– вещественные числа }

Вариант №6

1. Р₁ = {(а, 2); (а, 4); (а, 3); (с, 1); (с, 2); (с, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 4); (2, 3); (3, 3); (4, 1); (4, 3); (4, 4)}

2. P Í ℝ² и Р = {(x, y) : x + y = –2, где x, y Îℝ– вещественные числа }

3. P  ℝ² и Р = {(x, y) : - x = 2 y, где x, y Îℝ– вещественные числа }

Вариант №7

1. Р₁ = {(а, 1); (b, 2); (b, 3); (с, 1); (с, 3); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3); (3, 3); (3, 4); (4, 1); (4, 4)}

2. P Í ℝ² и P = {(x, y): x² + y² = 4, x, y Îℝ – вещественные числа }

3. P Í ℝ² и Р = {(x, y) : x -2 y = 4, где x, y Îℝ– вещественные числа }

Вариант №8

1. Р₁ = {(а, 3); (b, 4); (b, 3); (с, 1); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (4, 3); (4, 2)}

2. P Í ℝ² , P = {(x, y): y < x –1 и x, y Îℝ – вещественные числа }

3. P Í ℝ² и Р = {(x, y) : x + y <2, где x, y Îℝ– вещественные числа }

Вариант№9

1. Р₁ = {(а, 3); (b, 4); (b, 3); (b, 1); (b, 2); (c, 2)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 3); (4, 2)}

2. P Í ℝ² , P = {(x, y): x² = y, где x, y Îℝ – вещественные числа }

3. P  ℝ² и Р = {(x, y) : 2x² = y² , где x, y Îℝ– вещественные числа }

Вариант №10

1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (a, 4); (b, 1); (b, 2); (b, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3,3); (4,3); (4,4)}

2. P Í ℝ² , P = {(x, y): x²  y, где x, y Îℝ – вещественные числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : 2x² + y² = 3, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №11

1. Р₁ = {(а, 1); (а, 2); (b, 3); (b, 4); (c, 3); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3)}

2. P  ℤ² , P = {(x, y): x² + y² = 1, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x + y<- 1, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №12

1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (а, 4); (с, 3); (c, 1); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 4); (2, 3); (2, 1); (3, 4); (4, 2)}

2. Pℤ², P = {(x, y): x + y – кратно 3, где x, yℤ – целые числа}

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x + y<-4, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №13

1. Р₁ = {(а, 1); (а, 2); (а, 4); (b, 2); (b, 4); (c, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (4, 4);(4,2)}

2. Pℤ², P = {(x, y): x – y, кратно 2, где х, уℤ – целые числа}

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x/2 =y, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №14

1. Р₁ = {(b, 1); (b, 3); (c, 1); (c, 2); (c, 3); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (4, 2); (4, 3); (4, 4)}

2. Pℤ² , P = {(x, y): 2x = 3y, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : 2x<y+1, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №15

1. Р₁ = {(a, 2); (a, 4); (b, 3); (c, 1); (c, 2)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 4); (4, 3); (4, 2)}

2. Pℤ², P = {(x, y): x + y нечетно, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x³<y+3, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №16

1. Р₁ = {(а, 3); (а, 2); (b, 2); (b, 3); (c, 1); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 3); (4, 1); (4, 4)}

2. Pℤ², P = {(x, y): x – y четно, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : 1/x>y, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №17

1. Р₁ = {(а, 1); (а, 2); (а, 4); (b, 3); (c, 1); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 3); (1, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 1)}

2. Pℤ², P = {(x, y): 5x = 2y, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x+2y=6, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант№18

1. P₁={ (a, 1); (b, 3); (c; 1); (c, 4); (c, 3); (c, 2)}

P₂={(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 3); (4, 4); (4, 1)}

2. P ℤ², P = {(x, y): x = –y, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x +2 y<=-4, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №19

1. P₁={(a, 1); (b, 3); (b, 1); (b, 4); (c, 3); (c, 2)}

P₂={(1, 3); (1, 4); (2, 2); (3, 3); (4, 3); (4, 4);}

2. P ℤ², P = {(x, y): x +1 = y, где x, y ℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x=>y, где x, y ℝ– вещественные числа }

Вариант №20

1. P₁={(a, 1); (a, 2); (a; 4); (b, 1); (b, 4); (c, 3)}

P₂={(1, 1); (2, 4); (2, 1); (3, 3); (4, 2); (4, 1)}

2. P ℤ²,  P = {(x, y): y ≥ x – 2, где x, yℤ – целые числа }

3. Р ℝ² и Р = {(x, y) : x<1/y, где x, y ℝ– вещественные числа }