- •Практическое занятие №1
- •Вычислить определитель .
- •Вычислить определитель .
- •Действия с матрицами
- •Определители
- •Способы вычисления определителей:
- •Практическое занятие №2
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Практическое занятие №3
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
- •Практическое занятие №4
- •Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
- •Метод Гаусса
- •Практическое занятие №5
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Действия над векторами
- •Координаты вектора
- •Действия над векторами, заданными своими координатами
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •Практическое занятие №6
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Уравнение прямой по точке и нормальному вектору
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Практическое занятие №7
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Практическое занятие №8
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Действия с комплексными числами в алгебраической форме
- •Геометрическая форма комплексного числа
- •Практическое занятие №9
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
- •Практическое занятие №10
- •Основные теоремы о пределах
- •Типы неопределенностей и методы их раскрытия
- •Неопределенность вида .
- •Неопределенность вида .
- •Замечательные пределы
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Практическое занятие №11
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Точки разрыва и их классификация
- •Классификация точек разрыва
- •Практическое занятие №12
- •Производная сложной функции
- •Табличные значения производных основных функций
- •Практическое занятие №13
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Дадаян а.А. «Математика», 2004г.
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Практическое занятие №14
- •Григорьев в.П., Дубинский ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- •Производные высших порядков
- •Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Практическое занятие №15
- •Практическое занятие №16
Практическое занятие №3
Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Крамера.
Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений различными методами.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»
Литература:
Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
Дадаян А.А. «Математика», 2004г.
Задание на занятие:
Решить системы линейных уравнений в матричной форме и по правилу Крамера.
1)
2)
3)
4)
5)
Порядок проведения занятия:
Получить допуск к работе
Выполнить задания
Ответить на контрольные вопросы.
Содержание отчета:
Наименование, цель занятия, задание;
Выполненное задание;
Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
Как записать простейшее матричное уравнение?
Укажите алгоритм решения простейшего матричного уравнения.
Как проверить правильность решения простейшего матричного уравнения?
Сформулируйте теорему Крамера.
Запишите формулы Крамера.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Обозначим матрицу коэффициентов перед неизвестными: А = ,
вектор неизвестных: Х = , вектор свободных членов: В =
Тогда систему линейных уравнений можно записать в равносильной матричной форме:
A·X = B
Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Такое уравнение решается следующим образом. Если матрица А – невырожденная (т.е. ), тогда решение находится по формуле: Х = А-1В
Пример. Решить матричным методом систему уравнений:
Составим матрицы A = , B = , Х = .
Найдем обратную матрицу А-1:
5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30,
А11 = = -5; А21 = – = –1; А31 = = -1;
А12 = – А22 = А32 = –
А13 = А23 = – А33 =
A-1 = = ;
Находим матрицу Х:
Х = = А-1В = = .
Решение системы: x =1; y = 2; z = 3.
Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам
, где - определитель системы
, , …,
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:
= = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x1 = = 1; x2 = = 2; x3 = = 3.