35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера

Нулем, або коренем многочлена f(x) назив. Число xєС таке,що f(c)=0

Теорема Безу

При діленні многочлена f(x) на двочлен (x-c) одержується остача f(c)

Доведення

f(x)=(x-c)q(x)+r, r многочлен 0-го степеня

x=c

f(c)=r

Наслідок. Якщо c є коренем f(x), то f(x) ділиться на (x-c), тобто

(1)f(x)=(x-c)q(x)

Для ділення f(x) на (x-c) зручно використ. Схему Горнера

Нехай f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n

q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-1

Підставимо f(x) і g(x) в (1) та прирівняємо коефіцієнти при однакових коренях x

xⁿ a₀=b₀b₀=a₀

x^n-1 a₁=b₁-cb₀b₁=cb₀+a₁

x^n-2

…

x₀ b₀=a₀ b_k=cb_k-1+a_k k=1,n-1

r=cb_n-1+a_n(якщо є остача)

Корінь c многочлена f(x) назив коренем кратності k, якщо f(x) (x-c)^k, але не ділиться на (x-c)^k+1

f(x)=(x-c)^kq(x)

Теорема. Якщо число с є коренем кратності k многочлена f(x) то при k>1 воно буде (k-1)кратним коpенем похідної f^’(x)

Якщо к=1, то с-простий корінь f(x).

36 Основна теорема алгебри

Будь-який мнч з б-якими числовими коеф, степінь якого не менше одиниці має хоча б один корінь—у заг випадку комплексний.

Наслідок1: б-який мнч n-го степеня розкладається на n лінійних множників та множник рівний старшому коеф

f(x)=а₀(x- )(x- )*…*(x- )

Наслідок2 мнч n-го степеня не може мати більше n коренів

Наслідок3 f(x) (cтепеня більше один) має рівно ен коренів, якщо кожен корінь взятий стільки разів, скільки його кратність, тобто

f(x)=a0 (x- 1) (x- 2) *…*(x- n) ki є N.k1+k2+…+ks=n;

Наслідок 4Якщо мнч тотожно рівний нулю, то всі його коеф рівні нулю

Візьмемо будь-яке α_n+1 не=α_i i=1,n(число, що не=кореням), тоді f(α_n+1)=0→a₀=0→всі коеф=0

Насл 5 Якщо f(x) g(x)то коеф f(x) відповід рівні коеф g(x) ai=bi, i= f(x)-g(x) 0 a0-b0, a0=b0; і тд

Розглянемо f(x) з дійсними коеф.

Теорема Якщо мнч f(x) з дійсними коеф має корінь (a+ib), то він має корінь (a-ib)

f(a+ib)=0; f(a+ib)=M+iN, N,M=0; f(a-ib)=M-iN=0 ==> f(a-ib)=0;

Отже в розкладі f(x) на множники зустрічаються такі множники (x-a-ib), (x-a+ib)

(x-a-ib)(x-a+ib)=(x-a)(x-a)+b*b=x*x+px+q; D<0;

Теорема Будь-який мнч з дійсними коеф однознач представл у вигляді доб старшого коеф , декількох лін множн (x-альфа), що відп парам комплексно спряжених коренів

f(x)=a0 (x- 1) (x- 2) *…*(x- n) (x*x+p1x+q1) (x*x+p2x+q2) *…*(x*x+prx+qr) )

де α_i, p_i, q_i, a₀ єR

k_i, L_j єN

k1+k2+…+ks+2l1+2l2+…+2lr=n; (x*x+px+q)—незвідні множники

37. Раціональні дроби

Дробово-раціональною ф-кцією (рац дробом) наз частка двох мнч

g(x) не дор нулю

Якщо степінь знаменника більше(менше) ніж степінь чисельника, то дріб—правильний(непр)

Дріб наз нескоротним, якщо чис і знам –взаємнопрості

Теорема Б-який рац дріб можна однозначно представити у вигляді суми мнч і правильного дробу(наслідок ділення з остачею)

f(x)=g(x)*q(x)+r(x);

=q(x)+ степіні ер менше за степінь дж-за властивістю дільника та остачі

Правильний дріб наз елементарним, якщо знаменник—степінь незвідного мнч

Тобто, це дроби виду

або

Теорема Б-який рац прав дріб можна однозначно представити у вигляді суми елементарних дробів

Доведення: метод не визнач коефіцієнтів