Вопрос 5.

Формулы (1), (2) и (3) используются для оценки результатов исследования при проведении случайного повторного отбора. Для всех остальных видов и способов отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную оценку показателей можно производить по формулам, взятым из следующей таблицы. Все эти формулы являются математической трансформацией предыдущих трех.

Таблица

Формулы для оценки результатов выборочного исследования

Способ отбора	Ошибка (предельная) выборки	Объем выборки	Примечание
Случайный бесповторный			–
Серийно-гнездовой бесповторный	nсер. – число отобранных серий		- средняя по каждой серии - общая средняя
Типический бесповторный			- средняя дисперсия из частных внутри групповых (остаточных) дисперсий

Вопрос 6.

Относительной ошибкой выборки считается доля абсолютной ошибки относительно средней характеристики анализируемого показателя.

Вопрос 7.

Малой выборкой считают выборку, объем которой находится в пределах от 5 до 30 единиц, т.е. 5<n30.

При малой выборке нельзя принимать равенство дисперсий , как это делается для большой выборки. Особенность малой выборки в том, что ее случайные ошибки не подчиняются закону нормального распределения.

Закон распределения случайных ошибок малой выборки был найден и опубликован английским ученым Вильямом Госсетом (1876–1937) в 1908 г под псевдонимом "Стьюдент"⁴.

Для малой выборки предельная ошибка находится по формуле:

где "t"– коэффициент доверия Стьюдента,

"μ" – стандартная ошибка малой выборки

Коэффициент доверия и величина стандартной ошибки могут быть найдены по формулам :

.

Разность n-1 называется числом степеней свободы и обозначается ν=n-1 (k).

Стьюдентом разработаны таблицы, которыми пользуются для определения предельного значения коэффициента доверия t при двух значениях доверительной вероятности P_ν(t) 0,95 и 0,99

ν/Pν(t)	0.95	0.99
3 4 5 …	3.18 2.78 2.57	5.84 4.60 4.03

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Для определения средней урожайности сахарной свеклы в области проведена 20%-ная бесповторная выборка, в которую вошло 5 районов из 25. Средняя урожайность по каждому отобранному району составила: 250, 260, 275, 280, 300 ц с 1 га соответственно с площадей 800, 1000, 1200, 1200, 2800 га. Определить с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться средняя урожайность свеклы по области.

Решение. Это задача на повторный серийный отбор.

280 ц/га.

P=0.954; t=2; n=5; N=25

ц/га.

ц/га

272,66 287,34

Задача 2. (На использование механического бесповторного отбора.)

Условие:

При опросе покупателей на колхозном рынке отбирается каждой десятый покупатель со стоимостью покупки до 35 тыс. руб. и каждый десятый со стоимостью выше 35 тыс. руб. Покупатели распределились по выборке следующим образом:

Таблица.

Информация для решения задачи.

Стоимость покупок, тыс. руб.	Количество покупок, n	Средняя стоимость покупок, тыс. руб.,	Внутригрупповая дисперсия, тыс. руб.,
До 36 тыс. руб. 36 тыс. руб. и выше	150 250	26 42	49 81
Итого	400	36	69

По этому условию может быть решено три самостоятельные задачи:

1. Каковы возможные пределы ошибки выборочной средней, если ее надо гарантировать с вероятностью p=0,954.

2. Какова вероятность того, что предельная ошибка выборочной средней стоимости покупок на 1 покупателя не превысит 1.6 тыс. руб., а предельная ошибка частости покупателей, приобретших товаров на сумму более 60 тыс. руб., не превысит 0,04 при объеме выборки n=400, если по предыдущим обследованиям известно, что ω=0,2.

3. Каким должен быть объем выборки для того, чтобы можно было гарантировать с вероятностью p=0.954, что пределы возможной средней ошибки выборки не превзойдут 1,6 тыс. руб., а возможной ошибки доли (частости) не превзойдут 0,04, если по предыдущим обследованиям известно, что ω=0,2.

Решение.

0) Используя информацию из таблицы, вычислим среднюю общую стоимость покупок и среднюю общую дисперсию тыс. руб.

Средняя дисперсия из частных внутригрупповых дисперсий

тыс. руб.

1. Найдем предельную ошибку выборки тыс. руб.

t=2 при p=0.954 (таблицы нормального закона распределения)

N=4000 человек, т.к. десятипроцентный отбор и по условию n=400 человек.

2. а) ; P(4.06)=0.99;

б) 0,0066; P(0.0066)=

3. 

t=2 (из таблиц)

_x=1,6

_=0,04 =0,2

1 Плошко Б.Г., Елисеева И.И. История статистики: Учеб. пособие.–М.: Финансы и статистика, 1990.–295с.: порт. ,С. 31.

2 Там же, С. 161

3 Б.Г.Плошко, И.И.Елисеева История статистики: Учеб.пособие.–М.: Финансы и статистика, 1990.–295 с.: порт. С.160–166.

4 Там же