- •2. Вероятности случайных событий (теоремы сложения и умножения вероятностей)
- •3. Формула Бернулли
- •4. Функция распределения случайных величин и ее свойства
- •5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
- •6. Плотность вероятности случайных величин и ее свойства (равномерный и нормальный законы распределения)
- •7. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •1. Равномерная случайная величина.
- •8. Дискретные случайные векторы и их числовые характеристики (теорема сложения дисперсий)
- •9. Непрерывные случайные векторы и их числовые характеристики
- •10. Независимость и некоррелированность случайных величин, связь между ними
- •11. Точечные оценки неизвестных параметров распределений (выборочные среднее и дисперсия) Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок
- •12. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений (математического ожидания и дисперсии нормальнораспределенной генеральной совокупности)
1. Классическое определение вероятности Если события и несовместны , то
.
Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно .
Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно .
Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно .
Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно .
2. Вероятности случайных событий (теоремы сложения и умножения вероятностей)
5°. Теорема сложения вероятностей.
Для любых событий (не обязательно несовместных)
.
Теорема (умножения вероятностей).
Пусть некоторые события, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , для которых . Тогда
.
3. Формула Бернулли
формула полной вероятности
. формула Байеса
. формула Бернулли.
4. Функция распределения случайных величин и ее свойства
Функцией распределения случайной величины называется функция , определенная при каждом равенством:
.
F0). для любого .
F1). Функция распределения является функцией неубывающей: .
F2). .
F3). Функция распределения является функцией непрерывной слева, то есть для любого
,
где - предел слева функции распределения в точке х.
F4). Для любого
,
где - предел справа функции распределения в точке х, - величина скачка функции распределения в точке .
F5). Для любого
.
F6). Вероятность попадания случайной величины в интервал определяется как приращение функции распределения на этом интервале:
для любых
.
F7). .
F8). .
F9). .
5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
|
|
|
закон распределения
,
.
6. Плотность вероятности случайных величин и ее свойства (равномерный и нормальный законы распределения)
. (2.3)
При этом функция называется плотностью вероятностей
Свойства плотности вероятностей
f1). Плотность вероятностей является функцией неотрицательной:
для любого .
f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице:
- условие нормировки.
f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых
. (2.6)
7. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
,
1. Равномерная случайная величина.
,
3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.
.
,
8. Дискретные случайные векторы и их числовые характеристики (теорема сложения дисперсий)
Функцией распределения случайного вектора называется функция двух действительных переменных и , определяемая при каждом равенством:
. (3.1)
|
|
|
… |
|
(3.2) |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где в соответствии с (3.3) вероятность получается суммированием в -ой строке таблицы (3.2) вероятностей , .
.
Основными числовыми характеристиками двумерного случайного вектора являются:
математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания случайных величин и ;
дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии случайных величин и ;
корреляционный момент
. (3.17)
корреляционную матрицу .
Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).
Для любых действительных чисел и любых случайных величин и , имеющих конечную дисперсию
.
В частности, если и случайные величины и являются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии: