- •Содержание.
- •II Числовые и степенные ряды.
- •III Элементы линейной и векторной алгебры.
- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
- •Рассмотрим задачи:
- •Задачи № 151-160; 161-170; 171-180; 181-190.
- •Тренировочные задания.
- •II. Элементы линейной и векторной алгебры.
- •Контрольная работа № 2
- •Задачи 131-150.
- •Задачи 151-160
- •Задачи 161-170
- •Задачи 171-180
- •Задачи 181-190
Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
Задачи № 91-110
Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:
Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?
Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные, называется дифферен-циальным.
или
Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:
- дифференциальное уравнение первого порядка
- дифференциальное уравнение второго порядка
Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая вместе с ее производными удовлетворяет этому уравнению (превращает его в тождество).
Общее решение имеет вид: .
Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным.
Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:
Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Нахождение их общего и частного решений.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными сводится к уравнению с разделенными переменными , которое решается интегрированием обеих частей:
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Отыскание его общего и частного решений.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
при является уравнением с разделяющимися переменными. Если , то уравнение решается с помощью подстановки ,где и неизвестные функции, зависимые от . После ряда преобразований линейное уравнение сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.
Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию
Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию « » и ее производную « » в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых подбирается специальным образом, а другая находится из условия их удовлетворения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).
Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:
Пример 1. ; при .
Ищем решение уравнения в виде . Найдем производную этого произведения: . Подставим функцию y и ее производную в исходное уравнение:
В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель « », и вынесем его за скобку:
Подберем вспомогательную функцию « » так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Оба последних уравнения решаются разделением переменных.
Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию , а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию .
1) ; 2) ; ; ; ;
Замечание. Решая первое уравнение ( для вспомогательной функ-ции ), берем лишь его частное решение, соответствующее . При решении второго уравнения для функции находим общее решение уравнения.
Так как , то - общее решение уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: при . Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:
,
так как , то
Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:
.
Ответ: - общее решение дифференциального уравнения;
- частное решение дифференциального уравнения.
Пример 2. ;
Ищем решение в виде
Найдем производную: .
Подставим в исходное уравнение и :
;
Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:
Подберем вспомогательную функцию из условия:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение , соответствующее .
Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:
Подставим , в общее решение уравнения:
Пример 3.
Ищем решение в виде , тогда .
Подставим и в данное уравнение:
Потребуем, чтобы (1) , тогда (2)
Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при .
Так как , то
- это общее решение исходного дифферен-
циального уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям ; и подставим их в найденное общее решение:
Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение :
Ответ: - общее решение;
- частное решение.
Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).
Пример 4. Найти частное решение уравнения:
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть
Для нахождения составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде
(4)
где - комплексные корни характеристического уравнения. Подставим в (4) , имеем:
Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .
Применяя эту теорему при , имеем:
.
Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :
Подставив в данное уравнение , получим:
,
Откуда , .
Следовательно, и
Найдем :
Используя начальные условия, получим систему
Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.
Задачи № 111-130; 131-150
Данные задачи относятся к теме «Числовые и степенные ряды». Рассмотрим предварительно следующие вопросы:
Понятие числового ряда.
Члены числовой последовательности, соединенные знаком (+) или (-), образуют числовой ряд вида:
- общий член, где n – порядковый номер члена.
Другая форма записи числового ряда
2. Понятие частичной суммы числового ряда и суммы ряда.
Частичной суммой называется сумма первых членов. . Конечный предел частичных сумм числового ряда при называется суммой ряда . .
3. Какой числовой ряд называется сходящимся?
Если числовой ряд имеет сумму , то ряд является сходящимся. Если же не существует или равен , то числовой ряд – расходящийся и суммы не имеет.
4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.
Теорема. Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при равен 0, т.е. .
Необходимый признак сходимости не является достаточным. Поэтому для исследования числовых рядов на сходимость существуют достаточные признаки.
Признак сравнения. Даны два числовых ряда с положительными членами . Если, начиная хотя бы с некоторого номера , выполняется , то:
из сходимости ряда следует сходимость ряда ,
из расходимости ряда следует расходимость ряда
Признак Даламбера. Дан ряд с положительными членами . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему при , равный , т.е. , то:
при ряд сходится
при ряд расходится
при вопрос остается открытым
5. Признак Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.
Числовой ряд вида называется знакочередующимся.
Признак Лейбница. Если: 1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, т.е. и 2) , то такой ряд сходится и его сумма .
6. Понятие степенного ряда и области его сходимости.
Степенным рядом называется функциональный ряд:
;
где - коэффициенты ряда, - общий член ряда – степенная функция.
- радиус сходимости; (-R;R) – интервал сходимости.
Интервал (-R;R) c включением одного или двух его концов называется областью сходимости степенного ряда.
7. Разложение в ряд Маклорена функций:
Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале (-R;R) разлагается в ряд Маклорена:
.
Интервал (-R;R) – интервал сходимости ряда Маклорена.
8.Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
На практике приходится прибегать к приближенным вычислениям функций; определенных интегралов; при решении дифференциальных уравнений. В этих случаях функцию разлагают в степенной ряд Маклорена, а ряд заменяют суммой конечного числа членов с требуемой точностью. Точность оценивается с помощью первого отброшенного члена.
С помощью рядов составлены таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов; таблицы, применяемые в теории вероятностей и математической статистике.