Основні теоретичні положення дО виконання лабораторних робіт

Традиційно, основою діяльності менеджера є здатність приймати ефективні та обґрунтовані рішення. Зазвичай такі рішення приймаються у результаті збору і накопичення емпіричних спостережень та даних, виявлення окремих закономірностей, побудови та аналізу створених моделей, що дає відповіді на різноманітні питання із широкого спектру управлінських ситуацій. Кожен висококваліфікований менеджер повинен вміти, за необхідності, не лише шукати серед існуючих моделей найбільш придатні до застосування, а й моделювати реальні життєві ситуації, створювати власні моделі. Для цього він має знати й уміти використовувати у будь-яких специфічних умовах повсякденної ділової практики базові методи кількісного моделювання.

Процес моделювання умовно розділяють на три етапи:

• Вивчення середовища з метою чіткої постановки проблеми;

• Формалізація уявлення про ситуацію;

• Побудова кількісної моделі.

Оптимізаційні моделі. Якщо необхідно максимізувати (прибуток продуктивність) або мінімізувати (витрати, час) визначений критерій ефективності, який залежить від факторів, на які може впливати (які може корегувати) сам менеджер та які у свою чергу, підпорядковуються ряду обмежень, то така модель є типовим прикладом задачі умовної оптимізації. Обмеження у моделі завжди звужують діапазон можливих рішень, а тому умовна оптимізація – це досягнення найкращого можливого результату за наявності існуючих обмежень. Це той напрямок науки управління, який сьогодні найбільш активно розвивається.

Методи лінійної оптимізації у сфері оптимізаційних моделей є основним і найбільш широко використовуваним інструментом. Моделі лінійного програмування використовуються як у найпростіших випадках з кількома десятками обмежень, так і у надскладних ситуаціях, які містять десятки тисяч змінних рішень і обмежень.

Моделі лінійного програмування є одним з прикладів моделей умовної оптимізації. Задача лінійного програмування є математичною моделлю, що має наступні властивості:

• цільова функція є лінійною (відсутні експоненти та комбінаційні складові);

• обмеження (нерівності або рівності) також є лінійними функціями.

Особливим класом задач лінійного програмування є транспортні задачі. Транспортні моделі можна назвати найбільш популярними серед моделей лінійного програмування.

У подібних моделях здебільшого ставляться задачі організації постачання продукції, яка зберігається на складах, територіально розміщених по-різному, споживачам з найменшими витратами і, безумовно, дотримуючись усіх поставлених вимог.

Транспортна модель – це модель лінійного програмування яка дозволяє знайти найдешевший спосіб задоволення попиту в а пунктах призначення при здійсненні постачань з b відправних пунктів.

Метою транспортної задачі може бути не лише мінімізація цільової функції (витрат на транспортування вантажу), а й максимізація. Для цього необхідно скорегувати формулу цільової функції: коефіцієнтами її мають бути не питомі витрати а питомий прибуток.

Якщо у транспортній моделі попит на досліджувану групу товарів дорівнює їх пропозиції, то така модель є збалансованою. У такому випадку для формалізації обмежень можна замість нерівностей використовувати рівності (оскільки у такій моделі попит та пропозиція збалансовані, то обмеження-нерівності в точці оптимальності стануть лімітуючими, тобто перетворяться у рівності).

Транспортні моделі можуть бути також і незбалансованими: попит менший від пропозиції, або попит більший від пропозиції. У випадку коли попит менший за пропозицію особливих проблем з вирішенням задачі не виникне, оскільки надлишкова пропозиція товарів після задоволення всього попиту залишається у пунктах відправлення, тобто у резерві. А щодо формалізації вищевикладеного, то такий результат досягається внаслідок використання нерівностей у обмеженнях. Дещо складнішою є ситуація коли попит перевищує пропозицію. Тоді максимум, що може зробити підприємство – це задовольнити існуючий попит при найменших витратах. Є два шляхи вирішення. Обмеження для пропозиції можна формалізувати у вигляді рівностей, що примусить відправні пункти відправити увесь наявний товар у пункти призначення, а обмеження для попиту – у вигляді нерівностей «менше-дорівнює». Незадоволений попит у такому разі залишиться у вигляді резерву. Іншим способом є введення фіктивного відправного пункту, запас товару у якому точно відповідає різниці між загальним попитом та пропозицією. такий фіктивний відправний пункт робить модель збалансованою, коли попит дорівнює пропозиції. Вартість доставки з такого пункту у будь-який пункт призначення дорівнює нулю. Кожна поставка з такого пункту інтерпретується як незадоволений попит.

Різновидом моделей лінійної оптимізації, а саме транспортної моделі, є моделі призначень, які дозволяють досліджувати розподіл фіксованих ресурсів, наприклад, оптимально розподілити наявних продавців по відділах магазину, чи завдання по станках.

Модель призначень – це модель лінійного програмування яка дозволяє вирішити задачу знаходження оптимального розподілу а неподільних об’єктів на b завдань.

Прикладами можуть бути розподіл продавців по відділах магазину, робітників по цехах підприємства, лікарів по викликах, призначення консультантів для клієнтів і т.д. Об’єкти які розподіляються є неділимими і тому не можуть бути зайнятими на декількох завданнях.

Модель призначень є різновидом транспортної моделі. Вона відрізняється лише тим, що один об’єкт постачання не може розподілятися по декількох пунктах призначення. У моделі призначення усі значення попиту і пропозиції дорівнюють одиниці і, оскільки ми знаємо, що у транспортній моделі при цілих значеннях попиту і пропозиції оптимальне значення також буде цілим, то можна стверджувати, що оптимальне рішення задачі призначень також буде цілим числом.

Виділяють також динамічні моделі, за допомогою яких приймаються скоординовані рішення на декілька часових періодів.

Моделі, які розробляються для одного часового періоду називаються статичними моделями, а моделі, які охоплюють декілька часових періодів називаються динамічними моделями. Такі моделі, безумовно набагато точніше відображають реальність, адже часто рішення приймаються у залежності від часу, або від інших рішень, які були прийняті раніше. Звичайно, динамічні моделі є набагато складнішими за статичні. При їх створенні необхідно приділяти увагу набагато більшій кількості деталей. Зазвичай кожен часовий періо має власний критерій ефективності, але для оптимізації необхідно об’єднати ці критерії ефективності в єдиний критерій, який відображуватиме загальну ефективність за усі часові періоди. У якості такого критерію, як правило, використовується сума усіх критеріїв ефективності для окремих періодів, або найчастіше використовують зважену суму, де вагові коефіцієнти залежать від часу. Також необхідно прискіпливо визначити синхронізацію подій, щоб проміжні результати і рішення йшли у правильному порядку.

Динамічні моделі управління запасами (багатофазові моделі управління запасами) – важливий клас моделей, які застосовуються для управління запасами матеріалів фінансів, трудових ресурсів і т.п. при переході від одного періоду до іншого.

Транспортні моделі і моделі призначень є окремими випадками так званих сітьових моделей, загальною ознакою яких є вивчення переміщення або розподілу фізичних елементів (персоналу, продукції, фінансів і.т.п.). Вони використовуються здебільшого для оптимізації перевезень вантажів, знаходження найкоротшого шляху, або максимізації потоку у мережі.

як правило, за допомогою сітьового підходу описуються досить масштабні ситуації.

Діаграма потоків (сітьова діаграма) складається з комплексу вузлів та дуг, кожній з яких відповідає окрема пропускна здатність та питомі витрати (вартість перевезення вантажу через неї).

Вузол пропозиції – вузол з додатнім значенням пропозиції, ще називаються джерелами або точками пропозиції

Вузол попиту – вузол з від’ємним значенням пропозиції, ще називаються пунктами призначення, стоками або точками попиту.

Вузол перевалки – проміжний вузол, що не є ні вузлом пропозиції, ні вузлом попиту

Маршрут, або шлях між двома вузлами – це довільна послідовність дуг, що з’єднує ці вузли.

Правило: якщо в моделі перевезень вантажів усі праві частини обмежень і пропускні здатності задані цілими числами, то існує цілочисельне оптимальне рішення даної задачі.

Задача знаходження найкоротшого шляху виникає в такій діаграмі потоків, у якій кожна дуга означає відстань, або вартість, або час руху від попереднього до наступного вузла, які необхідно мінімізувати, що й інтерпретується як визначення найкоротшого (найдешевшого, найшвидшого) маршруту.

Маршрут між двома вузлами – це довільна послідовність дуг, що з’єднує ці вузли.

У задачі знаходження найкоротшого шляху дуги ненаправлені, що означає можливість руху по кожній з них у обох напрямках, хоча у окремих випадках допустиме формування однонаправлених дуг (вулиця з одностороннім рухом).

Моделі цілочисельного лінійного програмування (ЦЛП) – це окремий підвид моделей лінійного програмування, що містять додаткову вимогу щоб деякі або усі змінні рішення приймали цілі значення. Існує декілька класів моделей даної категорії: модель повністю цілочисельного лінійного програмування (модель, у якій усі змінні рішення повинні приймати тільки цілі значення) та модель частково-цілочисельного лінійного програмування (модель, у якій тільки деякі змінні рішення повинні приймати цілі значення, а усі інші можуть бути будь-якими).