Задания на контрольную работу по разделу «Математика»
Вариант 1
1. Даны два множества: А = {6k + 1 k = 0, 1, 2,…} и B = {3m + 4 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {1, 3} и B = {2, 4, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 96 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. Среди 24 студентов одним английским языком владеют 15 человек, немецким и английским 2 человека. Не владеет (например, изучал французский или испанский) ни английским, ни немецким 1 человек. Сколько студентов владеет только немецким языком?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {6k
+ 1 k
= 0, 1, 2,…} и B = {3m
+ 4 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х .
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и ни одно х не является z; значит, все у не являются z»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А
=
В
=
С
=
.
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 21,48(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 2
1. Даны два множества: А = {2k + 1 k = 0, 1, 2,…} и B = {3m m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {2, 3} и B = {1, 2, 3, 4}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 105 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» двенадцать, «4» четырнадцать, «3» шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов сдали экзаменационную сессию только на «5»?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {2k
+ 1 k
= 0, 1, 2,…} и B = {3m
m = 0, 1, 2,…}. Установите,
является ли соответствие f:
A
B, заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х .
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х не являются у и некоторые х являются z; значит, все у не являются z»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А
=
В
=
С
=
.
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите
интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 17,24(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 3
1. Даны два множества: А = {3k + 3 k = 0, 1, 2,…} и B = {m + 2 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {1, 4} и B = {2, 3, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 126 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. Из 220 студентов 163 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играет в баскетбол и футбол?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {3k
+ 3 k
= 0, 1, 2,…} и B = {m
+ 2 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х .
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Ни одно х не является у и некоторые у являются z; значит, некоторые z не являются x»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите
интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 23,81(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 4
1. Даны два множества: А = {6k + 5 k = 0, 1, 2,…} и B = {3m + 2 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {3, 5} и B = {2, 4, 6,7}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 210 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. В группе 30 студентов. Все, кроме трёх, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» одиннадцать, «4» четырнадцать, «3» семнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов сдали экзаменационную сессию только на «3»?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {6k
+ 5 k
= 0, 1, 2,…} и B = {3m
+ 2 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х .
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Некоторые х являются у и некоторые у являются z; значит, некоторые z не являются x»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите
интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 24,26(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 5
1. Даны два множества: А = {2k k = 0, 1, 2,…} и B = {m + 2 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {1, 5} и B = {2, 3, 4, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 280 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» двенадцать, «4» четырнадцать, «3» шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов имеют одновременно оценки «5», «4» и «3»?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {2k
k = 0, 1, 2,…} и B
= {m + 2
m = 0, 1, 2,…}. Установите,
является ли соответствие f:
A
B, заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х .
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Если некоторые у являются х, некоторые у являются z и некоторые z являются х, то некоторые х одновременно являются и у, и z»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 15,34(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 6
1. Даны два множества: А = {4k + 1 k = 0, 1, 2,…} и B = {3m + 5 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {1, 3, 4} и B = {2, 4, 5}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 315 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. В группе 30 студентов. Все, кроме трёх, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» двенадцать, «4» тринадцать, «3» шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов сдали экзаменационную сессию только на «4»?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {4k
+ 1 k
= 0, 1, 2,…} и B = {3m
+ 5 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х .
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Если все у являются х, некоторые у являются z и некоторые z являются х, то некоторые х одновременно являются и у, и z»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 26,17(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 7
1. Даны два множества: А = {2k + 3 k = 0, 1, 2,…} и B = {3m m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {2, 3, 5} и B = {2, 4, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 390 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. Из 64 студентов на вопрос, занимаются ли они в свободное время спортом, утвердительно ответили 40 человек; на вопрос, любят ли они слушать музыку, 30 человек ответили утвердительно. Причём 21 студент занимаются спортом и любят слушать музыку. Сколько человек не увлекается ни спортом, ни музыкой?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {2k + 3 k = 0, 1, 2,…} и B = {3m m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A B, заданное формулой , взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х 0.
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и некоторые х являются z; значит, все у являются z»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Числовая последовательность а0, а1, а2, …, ап, … определяется следующими условиями: а0 = 1, ап+1 = 2ап + 1. Доказать методом математической индукции, что ап = 2n+1 – 1 при всех натуральных п.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А =
В
=
С =
.
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите
интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 17,84(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 8
1. Даны два множества: А = {3k + 4 k = 0, 1, 2,…} и B = {m + 4 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {3, 5} и B = {1, 2, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 420 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. Из 20 студентов двое могут играть только в шахматы, трое – только в шашки, шестеро – только в футбол. Никто не умеет играть во все три игры. Один играет в шахматы и шашки, трое в футбол и шахматы. Сколько студентов умеет играть в футбол и шашки?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {3k
+ 4 k
= 0, 1, 2,…} и B = {m
+ 4 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х 0.
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Некоторые х являются у и все х являются z; значит, некоторые у являются z»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Числовая последовательность а1,
а2, …, ап, …
определяется следующими условиями: а1
= 2, ап+1 = 3ап
+ 1. Доказать методом математической
индукции, что ап =
(53n-1
– 1) при всех натуральных п.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите
интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 18,37(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 9
1. Даны два множества: А = {5k + 1 k = 0, 1, 2,…} и B = {m + 1 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {1, 3, 7} и B = {4, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 504 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. Среди 35 студентов одним английским языком владеют 11 человек, английским и французским – 5 человек. Не владеют ни английским, ни французским 9 человек. Сколько студентов владеет французским языком?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а) М=
;
б) Р=
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {5k
+ 1 k
= 0, 1, 2,…} и B = {m
+ 1 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х 0.
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и некоторые у являются z; значит, все z не являются х»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Числовая последовательность а0, а1, а2, …, ап, … определяется следующими условиями: а0 = 2, а1 = 3, ап+1 = a1 ап – а0 ап-1. Доказать методом математической индукции, что ап = 2n + 1 при всех натуральных п.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 29,26(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Вариант 10
1. Даны два множества: А = {k + 3 k = 0, 1, 2,…} и B = {m + 2 m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \В; д) А ∆ В.
2. Даны два множества: А = {7, 8} и B = {2, 4, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 630 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
4. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» двенадцать, «4» четырнадцать, «3» шестнадцать. Двое учатся одновременно на «5», «4» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов имеет только оценки «5» и «3»?
5. Если N – множество
натуральных чисел, М
множество положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а) М=
;
б) Р=
;
в)
;
г)
.
6. Даны два множества: А = {k
+ 3 k
= 0, 1, 2,…} и B = {m
+ 2 m
= 0, 1, 2,…}. Установите, является ли
соответствие f: A
B,
заданное формулой
,
взаимно однозначным.
7. Найти область определения функции
.
8. Найти предел функции
при х 0.
9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и все у являются z; значит, некоторые z являются х»?
10. Построить таблицу истинности для высказывания
.
11. Доказать методом математической
индукции, что неравенство
выполняется при всех натуральных п >
3.
12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)-1 при
А = В = С = .
13. Найдите производную функции
.
14.
Вычислите интеграл
.
15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 15,18(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по разделу «Математика»
При подготовке контрольной работы по разделу «Математика» необходимо придерживаться следующих рекомендаций.
Во-первых, можно пользоваться любыми доступными изданиями по высшей математике, раскрывающими соответствующие темы. Список рекомендуемой литературы приведён в приложении 4.
Во-вторых, о логике изложения. Решение задач должно быть логически стройным, т.е. содержать однозначную минимальную последовательность операций, обеспечивающую получение для заданных исходных данных искомого результата. Сопутствующие сведения, затрудняющие понимание главного, опускаются. Это в равной мере относится как к тексту, так и к иллюстрациям.
В-третьих, о способе решения. Большая часть задач контрольной работы по разделу «Математика» (№№ 1, 3, 4, 5, 6, 9) ориентирована на использование математического аппарата теории множеств. Поэтому будет уместной иллюстрация решения таких задач с помощью диаграмм Венна.
Проиллюстрируем эту рекомендацию примером выполнения задач данного типа.
Задача 1. Даны два множества: А = {6k + 5 k = 0, 1, 2, …} и B = {3m + 2 m = 0, 1, 2, …}. Найти: а) А В; б) А В; в) В \ А; г) А \ В; д) A ∆ B.
Решение
Определим, какие элементы принадлежат множествам:
А = {5, 11, 17, 23, 29, …}; B = {2, 5, 8, 11, 14, 17, …}.
Проиллюстрируем данные множества с помощью диаграмм Венна:
Найдём объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств:
а) А В = В;
б) А В = А;
в) В \ А = {2, 8, 14, 20, … } = {6k + 2 k = 0, 1, 2, …};
г) А \ В = ;
д) A ∆ B = {2, 8, 14, 20, …} = {6k + 2 k = 0, 1, 2, …}.
Задача 3. Даны три множества: А множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 420 множеству D = (А \ В) (А C) (B C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.
Решение
Определив делимость числа 420 на 6, 10, 21, установим его принадлежность заданным множествам: 420 А, 420 В, 420 С. Отметив факт принадлежности числа множеству знаком «+», заполним табл. 1. Результат в последнем столбце первой строки табл. 1.
Таблица 1
s |
А |
В |
С |
А \ В |
А C |
B C |
D |
420 |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
Из диаграммы Венна (рис. 1) заключаем, что множество D изображается объединением заштрихованных областей, а число 420 принадлежит области пересечения множеств А, В и С.
Рис. 1
Задача 4. Из 20 студентов двое могут играть только в шахматы, трое – только в шашки, шестеро – только в футбол. Никто не умеет играть во все три игры. Один играет в шахматы и шашки, трое в футбол и шахматы. Сколько студентов умеют играть в футбол и шашки?
Решение
Обозначим через А множество студентов, играющих в шахматы, через В в шашки, через С в футбол.
По условию задачи: А В С = 20, А В = 1, А С =3, А В С = = (никто не умеет играть сразу в три игры). Требуется определить количество элементов в пересечении В С.
Изобразим эти множества на диаграмме Венна (рис. 2).
Из диаграммы видно, что множество В С должно содержать 20 – 1 – 2 – 3 – 6 – 3 = 5. Значит, играть в футбол и шашки умеют 5 студентов.
А
2
1
3
6
В
С
3
?
Рис. 2
Задача 5. Если N
– множество натуральных чисел, М
множество
положительных чисел, Р
множество простых чисел, Q
множество
положительных нечётных чисел. Указать
истинность высказываний: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение
Для указанных множеств справедливо:
,
Графическая иллюстрация:
Тогда
а)
,
,
т.е. ложно;
б)
,
,
т.е. истинно;
в)
,
,
,
т.е. ложно;
г)
,
,
т.е. ложно.
Задача 6. Даны два множества: А = {2k k = 0, 1, 2, …} и B = {2m + 1 m = 0, 1, …}. Установите, является ли соответствие f: A B, заданное формулой b = a +1, взаимно однозначным.
Решение
П
роиллюстрируем
возможность установления взаимного
однозначного соответствия:
Является.
Задача 9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и ни одно х не является z; значит, все у не являются z»?
Решение
Построим диаграммы Венна, характеризующие посылки и заключение:
И
з
рис. видно, что возможно неверное
заключение, удовлетворяющее исходным
посылкам. Следовательно, рассуждение
не является правильным.
В-четвёртых, об использовании определений. Решение задач № 2 и № 7 предполагает практическую иллюстрацию терминов «декартово произведение множеств» и «область определения функции». Приведём соответствующие примеры.
Задача 2. Даны два множества: А = {1, 2} и B = {4, 7, 8}. Найти декартово произведение: а) А В; б) В А.
Решение
Декартовым (или прямым) произведением А В двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где а А, b В.
Тогда
А В = {(1, 4), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 7), (2, 8)};
В А = {(4, 1), (4, 2), (7, 1), (7, 2), (8, 1), (8, 2)}.
Задача 7. Найти область определения
функции
.
Решение
Под областью определения функции подразумевается естественная область определения, т.е. те значения х R, при которых функция у = f (x) имеет смысл.
Область определения функции есть полуинтервал (–; 7], т.к. функция у имеет смысл при 7 – х 0.
В-пятых, об отыскании пределов. Решения задач № 8 предполагают использование основных свойств пределов, первого или второго замечательных пределов, а в некоторых случаях и малых (при х 0) эквивалентных величин. Рассмотрим один пример на применение второго замечательного предела. Напомним, что согласно данному пределу для всех x R
.
Задача 8. Найти предел функции
при х .
Решение
=
=
=
=
=
.
В-шестых, о построении таблицы истинности сложных высказываний. Построение таблицы истинности осуществляется следующим образом:
1. Выделяются все простые высказывания, входящие в состав сложного высказывания А.
2. В соответствующие столбцы таблицы выписываются все возможные наборы значений истинности этих (простых) высказываний.
3. В составе сложного высказывания А выделяются все подформулы (начиная от элементарных и кончая самой формулой А).
4. Вычисляется значение истинности каждой подформулы при каждом наборе значений простых высказываний.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача 10. Построить таблицу истинности для высказывания
(a b) ( a с).
Решение
Таблица истинности данного высказывания имеет вид:
a |
b |
с |
a b |
a |
a с |
(a b) ( a с) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
В-седьмых, о методе математической индукции. Доказательства этим методом опираются на следующий принцип математической индукции: утверждение, зависящее от натурального числа п, справедливо для любого n, если выполнены два условия:
1) утверждение справедливо при п = 1;
2) при любом натуральном значении k из справедливости утверждения для п = k вытекает его справедливость и для п = k + 1.
При проведении доказательств методом математической индукции нужно внимательно следить за всей последовательностью рассуждений и за тем, чтобы рассуждения оставались верными для любых значений k (т.е. чтобы никакие конкретные свойства числа k не использовались в процессе доказательства).
Рассмотрим применение метода математической индукции для доказательства справедливости следующего утверждения.
Задача 11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:
.
Решение
1) Подставим п =1 в данную формулу. Получим верное равенство:
2) Пусть k любое натуральное число. Подставим в данную формулу п число k. Получим:
.
Предположим, что полученное равенство верно.
3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1. Для этого подставим в данную формулу вместо n число k + 1. Получим:
.
В силу
предположения индукции в левой части
этого равенства алгебраическую сумму
всех слагаемых, кроме последнего члена,
можно заменить на один член
.
Получим:
,
т.е. и в этом случае равенство выполняется. Что и требовалось доказать.
В-восьмых, о корректности вычислений. Все числовые результаты задач № 12 и № 15 должны быть подсчитаны правильно. Приведём примеры.
Задача 12. Найти обратную подстановку произведения (АВ)-1 при
А = В = .
Решение
А =
В
=
А
В
=
.
(АВ)-1 =
.
Задача 15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 26,17(10) в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.
Решение
Напомним, что перевод десятичного числа в любую систему счисления производится отдельно для целой и дробной его частей.
Для перевода целой части десятичного числа в любую систему счисления необходимо делить десятичное число на основание новой системы нацело (с остатком), полученное частное снова делить, и так продолжать деление до тех пор, пока последнее частное не окажется меньше основания новой системы счисления.
Целая часть числа в новой системе счисления запишется из получившихся при делении остатков, взятых в порядке, обратном их получению.
в двоичную в восьмеричную в шестнадцатеричную
26 |
2 |
|
|
|
|
|
|
26 |
8 |
|
|
26 |
16 |
0 |
13 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
Результат перевода: 26(10) = 11010(2) = 32(8) = 1А(16).
Перевод дробной части десятичного числа часто можно выполнить не точно, а с некоторой погрешностью, определяемой количеством значащих цифр после запятой:
в двоичную в восьмеричную в шестнадцатеричную
0 |
17 |
|
0, |
17 |
|
0, |
17 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
16 |
0 |
34 |
|
1 |
36 |
|
2 |
72 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
16 |
0 |
68 |
|
2 |
88 |
|
11 |
52 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
16 |
1 |
36 |
|
7 |
04 |
|
8 |
32 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
16 |
0 |
72 |
|
0 |
32 |
|
5 |
12 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
16 |
1 |
44 |
|
2 |
56 |
|
1 |
92 |
,
Результат перевода: 0,17(10) = 0,00101(2) = 0,12702(8) = 0,2В851(16).
Ответ: 26,17(10) = 11010,00101(2) = 32,12702(8) = 1А,2В851(16).
И, наконец, в-девятых, об элементах дифференцирования и интегрирования. Здесь мы ограничимся примерами решения задач.
Задача
13. Найдите производную
функции
.
Решение
Задача 14. Вычислите интеграл
Решение
Полагаем
.
Тогда
,
а исходный интеграл по формуле
интегрирования по частям находим так:
