Плоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Примером такого движения может служить качение цилиндра по плоскости. Для изучения такого движения достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой-либо одной плоскости. Это означает, что тело можно считать плоским.

Выберем две произвольные точки твердого тела и Положение тела в некоторой неподвижной системе отсчета можно определить, задав, например, радиус-вектор точки и угол между радиус-вектором , проведенным из точки в точку , и некоторым фиксированным направлением в - системе отсчета (рис. 2).

В ведем вспомогательную - систему отсчета, жестко связанную с точкой . Пусть за время точка совершила перемещение , а вектор повернулся на угол . Тогда перемещение точки в - системе можно записать в виде

,

где – перемещение точки в системе. Поскольку расстояние между точками и в процессе движения остается неизменным, перемещение обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в - системе оси, проходящей через точку и равно . Подставляя это выражение в предыдущее и разделив обе части на , получим

, (4)

где – угловая скорость вращения тела в - системе. Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух движений – поступательного (движение - системы, связанной с точкой , относительно системы ) и вращательного (вокруг оси, проходящей через точку ). Заметим, что, если вектор при вращении повернулся на некоторый угол , то и любая прямая, жестко связанная с телом, повернется на такой же угол. Другими словами, величина поворота тела на угол , а значит и угловая скорость не зависит от выбора точки

Докажем, что плоское движение можно свести к чисто вращательному движению. Так как точки и – две произвольные точки твердого тела, длина вектора в процессе движения остается неизменной, а поэтому

.

Дифференцируя это соотношение по времени, получим

,

или

,

где и – скорости точек и соответственно. Допустим, что в данный момент времени скорость точки равна нулю, тогда для этого момента времени

.

Отсюда видно, что скорость перпендикулярна вектору , т.е. направлена по касательной к окружности с центром в точке . Поскольку точка произвольная точка тела, это будет справедливо для любой точки тела.

Таким образом, на основании этого можно сказать, что мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку . Движение тела в этом случае называют мгновенным вращением. Прямая, проходящая через точку тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называют мгновенной осью вращения.

Словом “мгновенная” подчеркивают, что это понятие служит для описания распределения скоростей только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообще говоря, перемещается и в теле и в пространстве. Мгновенная ось может проходить через точку, лежащую вне тела.

Покажем теперь, что в пределах тела или за его пределами всегда можно найти точку, скорость которой в данный момент времени в системе равна нулю. Скорость некоторой точки в системе равна . Очевидно, что всегда можно подобрать такую величину и направление радиус-вектора , чтобы выполнялось условие , т.е. чтобы в системе скорость этой точки по модулю была равна и направлена в сторону противоположную направлению вектора . В этом случае, как следует из уравнения (4), скорость этой точки в системе будет равна нулю.

Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения только скоростей.

Для нахождения ускорений можно, например, воспользоваться формулой (4)

,

где – ускорение системы отсчета относительно системы , – тангенциальное, а – нормальное ускорения точки в системе (см. раздел “Кинематика материальной точки”).