3.1.1 Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса относится к прямым (точным) методам, основной алгоритм которых - это получение последовательности эквивалентных систем путем исключения неизвестных по определенным правилам. Результат получается за n шагов (n – число неизвестных X_i). На каждом шаге решения очередная эквивалентная система получается в результате выполнения обыкновенного жорданова исключения.

3.1.1.1 Обыкновенные жордановы исключения

Пусть имеется система m уравнений с n неизвестными

Эту систему можно записать в виде таблицы, приведенной ниже, где каждое уравнение может быть получено как сумма произведений соответствующих элементов матрицы коэффициентов на элементы верхней строки переменных.

Выразим из r-го уравнения переменную Xs через остальные переменные и подставим во все остальные уравнения. Это преобразование называется шагом жорданова исключения с разрешающим элементом a_rs (в приведенной выше таблице этот элемент выделен прямоугольником). В качестве примера покажем, как будет выглядеть первое уравнение после такой подстановки

Из уравнения

Это преобразование удобно выполнять по следующему правилу:

1. Разрешающий элемент заменяется единицей; над разрешающим столбцом записывается у_r , а у разрешающей строки – x_s.

2. Остальные элементы разрешающего столбца (s-гo) остаются без изменений.

3. Остальные элементы разрешающей строки (r-той) меняют знаки.

4. Элементы, не принадлежащие разрешающим строке и столбцу, вычисляются по формуле.

5. Все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент a_rs

На основе описанного жорданова исключения строится алгоритм метода Жордана-Гаусса.

3.1.1.2 Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Пусть требуется решить систему

1. Перепишем систему в виде

и представим в виде таблицы

2. В таблице выбираем какой-либо разрешающий элемент, отличный от нуля и не стоящий в столбце свободных членов (проще в качестве разрешающего брать элемент, равный 1, если таковой имеется). Производим шаг жорданова исключения с выбранным разрешающим элементом. В результате получим таблицу, в которой слева окажется некоторое X_j, а сверху над столбцом – 0. Вычеркиваем этот столбец (т.е. бывший разрешающий столбец).

3. Повторяем действие пункта 2 до тех пор, пока не будут "переброшены" все X_i в левую часть таблицы, то есть пока не придем к таблице (вектору-столбцу).

Это и есть искомое решение системы. Заметим, что если определитель системы равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений либо несовместна. При этом возникает ситуация, когда наверху таблицы еще остались некоторые х, а более производить жордановы исключения нельзя, так как какая-то 0-строка имеет все нули. Если и свободный член в этой строке равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений, а если нет - то система несовместна.

3.1.1.3 Численный пример метода Жордана-Гаусса

Требуется решить систему уравнений

1.Запишем систему в виде

2. Произведем шаг жорданова исключения относительно выделенного элемента, перенеся х₄ в левую часть таблицы и удалив столбец, содержащий в верхней части нуль (столбец, ранее занимаемый переменной х₄). Получим следующую таблицу

3.Далее последовательно будем производить жордановы исключения относительно выделенных элементов, производя попутно эквивалентные преобразования. На втором шаге получим