1.6. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений в равноотстоящих узлах и пусть точка интерполирования х находится близко от точки х₀ или слева от нее. Требуется построить интерполяционный многочлен. При построении многочлена для уменьшения погрешности интерполирования будем использовать узлы в порядке их удаления от точки х, т.е. в порядке их расположения в таблице х₀, х₁, …, х_т.

Ищем интерполяционный многочлен в виде

(1.16)

Полагаем в (1.16) х=х₀. Тогда имеем

.

С другой стороны, на основании условий (1.1) .

Таким образом, .

Далее, полагая в (1.16) и используя (1.1), имеем

.

Так как , , получаем

,

откуда

.

Для вычисления коэффициента а₂ полагаем в (1.16) , а также воспользуемся (1.1) и значениями коэффициентов а₀ и а₁:

;

;

.

Числитель полученной дроби на основании свойства 4 конечных разностей равен . Таким образом,

.

Последовательно продолжая этот процесс, получаем

.

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (1.16), приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона: (И. Ньютон (1643 – 1727) – выдающийся английский физик, механик, астроном и математик):

. (1.17)

Сравним полученную формулу с интерполяционной формулой Лагранжа . если построить интерполяционный многочлен по обеим этим формулам с использованием одних и тех же узлов, многочлены совпадут, так как эти две формулы дают две разные формы записи единственного интерполяционного многочлена. Однако интерполяционная формула Ньютона имеет преимущество перед интерполяционной формулой Лагранжа. Во-первых, если был построен интерполяционный многочлен по m узлам, а затем для уточнения ответа потребовался многочлен, построенный по (m+1) узлу, то для построения интерполяционного многочлена Лагранжа, как уже указывалось, необходимо всю работу выполнять с самого начала. При построении же интерполяционного многочлена Ньютона по (m+1) узлу достаточно к многочлену, построенному по m узлам, добавить одно слагаемое. Во-вторых, в формуле Лагранжа все слагаемые равноправны (каждое слагаемое – многочлен степени n). В интерполяционную формулу Ньютона в качестве слагаемых входят многочлены повышающихся степеней. Основной вклад при вычислении искомой величины дадут первые слагаемые интерполяционной формулы, определяемые ближайшими к х узлами. Остальные слагаемые дают лишь небольшие поправки. В этом случае легче избежать просчетов, а также установить, на каком слагаемом прекратить вычисления.

На практике первую интерполяционную формулу Ньютона используют обычно в другой форме записи.

Введем переменную

.

Тогда

;

и т.д.

После перехода к новой переменной q первая интерполяционная формула Ньютона запишется в следующем виде:

. (1.18)

Так как эта формула используется для интерполирования в точках х, лежащих близко от точки х₀, ее называют интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования в начале таблицы.

Отметим, что конечные разности, входящие в первую интерполяционную формулу Ньютона, расположены в верхней строке таблицы конечных разностей.

Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона запишется в виде

(1.19)

где - некоторая точка из интервала, содержащего узлы интерполяции.