6.9.Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных

уравнений. Постановка задачи

Наряду с задачами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в вычислительной практике приходится иметь дело также с краевыми задачами. В них дополнительные условия, присоединяемые к дифференциальным уравнениям, задаются в виде уравнений, связывающих значение решения и его производных в некоторой системе точек.

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

. (6.46)

Двухточечная краевая задача для уравнения (6.46) ставится следующим образом. Найти функцию y=f(x), которая внутри отрезка [a,b] удовлетворяет уравнению (6.46), а на концах отрезка – краевые условия

;

.

Приведем некоторые примеры краевых задач.

1. Найти функцию y=y(x), удовлетворяющую внутри отрезка [a,b] уравнению

и принимающую на концах отрезка заданные значения

у(а)=А, y(b)=B.

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через данные точки (а, А) и (b, B).

2. Найти функцию y=y(x), удовлетворяющую внутри отрезка [a,b] уравнению

,

причем производная на концах отрезка должна принимать заданные значения

, .

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, пересекающую прямые х=а и х=b под заданными углами и соответственно, такими, при которых , .

Если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны, краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:

где Р(х), q(x), f(x) – известные непрерывные на отрезке [a,b] функции;

- заданные постоянные, причем и .

6.10. Решение краевых задач

методом конечных разностей

Пусть при рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения

(6.47)

с условиями

. (6.48)

Разобъем отрезок [a,b] на n равных частей точками

.

Точки x_i будем называть узлами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (6.47) во внутренних узлах отрезка, т.е. в точках . Полагаем в (6.47) х= x_i. Тогда

. (6.49)

Обозначим получаемые в результате приближенные значения искомой функции y(x) в узлах x_i через y_i. Введем также обозначения:

.

В каждом внутреннем узле производную можно приближенно заменить, используя одну из формул:

;

(6.50)

.

Аналогично производную можно приближенно заменить, используя одну из формул:

(6.51)

.

Для получения формул (6.50) и (6.51) можно воспользоваться интерполированием и численным дифференцированием.

Для точки х₀=а производную приближенно заменяем, используя первую формулу из (6.50):

, (6.52)

а для точки х_n=b производную заменяем, используя вторую формулу из (6.50):

. (6.53)

Отметим, что заменяем именно по этим формулам, так как это крайние точки отрезка. Для внутренних узлов отрезка [a,b] можно использовать любую формулу из (6.50) и (6.51). На практике чаще используется третьи формулы из (6.50) и (6.51), как более точные.

Подставляя и из этих формул в уравнения (6.49), получим (n-1) уравнение. Подставляя (6.52) и (6.53) в краевые условия (6.48), получим еще два уравнения.

Итак, после подстановок приходим к линейной системе из (n++1)-го уравнения с (n+1)-й неизвестной:

(6.54)

.

Решив систему, если это возможно, получим таблицу приближенных значений искомой функции. При большом n непосредственное решение системы (6.54) становится затруднительным. Для решения систем уравнений вида (6.54) разработан специальный метод, получивший название метода прогонки.