- •1.Основы метрологии
- •1.1. Основные термины и определения в области метрологии
- •1.1.1. Основные понятия в области метрологии
- •1.1.2. Измерения физических величин
- •1.1.3. Погрешности измерений
- •1.1.4. Средства измерений и их общая классификация
- •1.2. Систематические погрешности измерений
- •1.2.1. Способы обнаружения и оценки систематических погрешностей
- •1.2.2. Способы уменьшения систематических погрешностей
- •1.3. Случайные погрешности измерений
- •1.3.1. Математическое описание случайных погрешностей
- •1.3.2. Оценка случайных погрешностей прямых измерений
- •Равноточные измерения
- •Неравноточные измерения
- •1.3.3. Оценка случайных погрешностей косвенных измерений
- •1.4. Обработка результатов многократных наблюдений
- •1.5. Оценка погрешностей измерений с однократными наблюдениями
- •1.6. Показатели точности и формы представления результатов измерений
- •1.7. Метрологическое обеспечение измерений
- •1.7.1. Основные положения метрологического обеспечения
- •1.7.2. Метрологическая служба
- •1.7.3. Эталоны единиц электрических величин
- •Эталон единицы силы электрического тока
- •Эталон единицы электродвижущей силы и напряжения
- •Эталон единиц времени и частоты
- •Эталон единицы электрического сопротивления
- •Эталон единицы электрической емкости
- •Эталон единицы индуктивности
- •1.7.4. Передача размера единиц электрических величин
1.3.2. Оценка случайных погрешностей прямых измерений
Как правило, результаты многократных наблюдений при прямых измерениях какой-то физической величины получаются одним оператором, в одинаковых условиях и с помощью одного и того же СИ. Такие измерения принято называть равноточными. Однако в целом ряде случаев возникает необходимость нахождения наиболее точной оценки измеряемой величины на основании результатов наблюдений, полученных в различных условиях, разными операторами, с применением разнообразных СИ (и даже различных методов измерений) и т.п. Естественно, результаты таких наблюдений будут иметь различную , и поэтому измерения следует считать неравноточными. Рассмотрим приемы оценки случайных погрешностей прямых равноточных и неравноточных измерений, полагая в обоих случаях, что систематические погрешности тем или иным способом исключены, т. е. результаты наблюдений являются исправленными.
Равноточные измерения
Приемы оценки случайных погрешностей прямых равноточных измерений стандартизованы и регламентируются ГОСТ 8.207—76. За результат измерения принимается оценка mх, вычисляемая по формуле (1.17). С увеличением n . Так как mx определяет среднее значение любой случайной величины, то при отсутствии систематических погрешностей mx=Q.Таким образом, mх, называемое средним арифметическим результатов наблюдений и обозначаемое чаще , является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения измеряемой величины Q.
Случайная погрешность результата каждого наблюдения характеризуется, как уже указывалось, значением СКО σх. Поскольку при практических расчетах имеется возможность определять лишь значения
, (1.19)
называемые случайными отклонениями результатов отдельных наблюдений, то для расчета вместо (1.18) должна применяться следующая формула (ГОСТ 11.004—74):
. (1.20)
Аналогичным образом случайную погрешность результата измерения можно охарактеризовать значением СКО . Известно, что . Переходя к оценке и воспользовавшись формулой (1.20), находим:
(1.21)
Полученные точечные оценки и хотя и позволяют оценить результат измерения и его случайную погрешность, но не содержат никаких сведений о вероятности данных оценок. Поэтому задача оценки случайных погрешностей не исчерпывается вычислением и , и от точечных оценок мы должны перейти к так называемым интервальным оценкам, связанным с определением доверительных границ случайной погрешности результата измерения. Доверительные границы — это верхняя и нижняя границы интервала, внутри которого с заданной доверительной вероятностью Р находится погрешность результата измерения.
Если результаты наблюдений принадлежат распределениям (1.9) или (1.13), то для нахождения доверительных границ случайной погрешности результата измерения, обозначаемых , пользуются табличными значениями функций F(t) или F(t,n) соответственно. Так как распределение (1.13) более универсально, ГОСТ 8.207—76 рекомендует определять с помощью коэффициента Стьюдента t. Количественная связь между и t записывается без учета знака в виде:
, (1.22)
При практических расчетах значение следует определять для Р = 0,95. Если измерение нельзя повторить, ГОСТ 8.207—76 допускает принимать Р = 0,99. Поэтому в табл. 1.2 приведены значения t(n), заимствованные из таблицы F(t, n) для указанных значений Р.
Табл.1.2. Значение коэффициента t для распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы
n-1 |
P=0,95 |
P=0,99 |
n-1 |
P=0,95 |
P=0,99 |
3 |
3,182 |
5,841 |
16 |
2,120 |
2,921 |
4 |
2,776 |
4,604 |
18 |
2,101 |
2,878 |
5 |
2,571 |
4,032 |
20 |
2,086 |
2,845 |
6 |
2,447 |
3,707 |
22 |
2,074 |
2,819 |
7 |
2,365 |
3,499 |
24 |
2,064 |
2,797 |
8 |
2,306 |
3,355 |
26 |
2,056 |
2,779 |
10 |
2,228 |
3,169 |
28 |
2,048 |
2,763 |
12 |
2,179 |
3,055 |
30 |
2,043 |
2,750 |
14 |
2,145 |
2,977 |
∞ |
1,960 |
2,576 |
Если сравнить значения t, рассчитанные для разных распределений (см. табл. 1.1), то оказывается, что при Р>0,85 значения t максимальны для нормального распределения. Поэтому при неизвестной функции распределения (или невозможности проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению) рекомендуется считать нормальным, так как надежность оценки повышается.
В заключение анализа приемов оценок случайных погрешностей прямых равноточных измерений рассмотрим так называемый критерий грубых погрешностей. Оказывается, что при n>30 и Р = 0,9973 из таблицы F(t) следует t = 3. Это значение t можно считать предельно возможным при определении по формуле (1.22), так как вероятность появления большего значения равна всего лишь 0,0027. Поэтому в метрологической практике критерий «трех сигм» принят в качестве критерия грубых погрешностей (см. § 1.1.3). Если
, (1.23)
то такое наблюдение содержит грубую погрешность и должно быть исключено при обработке результатов наблюдений. При n<30 более достоверна оценка грубой погрешности, сделанная в соответствии с указаниями ГОСТ 11.002—72, регламентирующего правила оценки анормальности результатов наблюдений.