13. Кут між двома прямими на площині. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Нехай прямі задано загальними, канонічними рівняннями або рівняннями з кутовим коефіцієнтом:

Тоді кут між ними знаходимо із формул:

.

Рис.9

Відповідно умови паралельності двох прямих мають вигляд

або або ,

а перпендикулярності –

або або .

14. Площина в просторі .

Нехай в задано декартову систему координат Рівняння

(14.1)

визначає поверхню в . Якщо (14.1) – алгебраїчне рівняння го степеня, поверхня називається алгебраїчною го порядку .

Алгебраїчною поверхнєю першого порядку є площина. В той же час будь-яка площина в декартових координатах в може бути зображена рівнянням першого порядку.

Рівняння

(14.2)

називається загальним рівнянням площини. Вектор - вектор нормалі площини (14.2) (він перпендикулярний до площини). Якщо вільний член в (14.2) дорівнює нулю, то площина проходить через початок координат .

Рис.10

Рівнянням площини “у відрізках” називається рівняння

(14.3)

Рис.11

Тут величини відрізків, що відтинає площина (14.3) від осей координат.

Зауваження. Рівняння “у відрізках” не існує для тих площин, що паралельні до координатних площин або проходять через початок координат.

Нормальним рівнянням площини називається рівняння

. (14.4)

Тут це кути, що утворює вектор нормалі площини (14.4) з осями відповідно , відстань площини (14.4) від початку координат . До речі, називаються напрямними косинусами вектора нормалі площини (14.4) і задовольняють співвідношенню

Щоб перетворити загальне рівняння площини на нормальне, треба обидві частини загального рівняння (14.2) помножити на нормувальний множник

, знак якого обирається протилежним до знаку вільного члена загального рівняння.

За допомогою нормального рівняння обчислюють відстань площини (14.4) від точки за формулою:

.

Рис.12

15. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин в

Кутом між двома площинами

і

називають один із суміжних двогранних кутів, утворених цими площинами. Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0 або .

Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин і також дорівнює або . Тому

.

II

I

Рис.13

Якщо площини і паралельні, то їх нормальні вектори також паралельні і

.

Якщо площини і перпендикулярні, їх нормальні вектори також перпендикулярні і .

16. Пряма лінія у тривимірному просторі.

Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана перетином двох площин або точкою і напрямом.

Загальне рівняння прямої в визначає пряму як геометричне місце перетину двох непаралельних площин і :

(16.1)

Рис.14

Зауважимо, що оскільки пряма (16.1) належить до площин і , вона перпендикулярна до їх векторів нормалі і і тому напрямний вектор прямої (16.1) можна визначити як .

Канонічними рівняннями прямої в називають рівняння , (16.2)

де - точка, що належить цій прямій, а вектор - її напрямний вектор.

Параметричні рівняння прямої в мають вид

, (16.3)

де - точка, що належить цій прямій, - її напрямний вектор, а -параметр, що набуває будь-яких дійсних значень.

Рис.15