- •Практичне заняття № 1
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ
- •Іі Завдання додому
- •Практичне заняття № 2
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 3
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ.
- •Іі. Завдання додому.
- •1. Лінійна модель міжнародної торгівлі.
- •Практичне заняття № 4
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ.
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 5
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Додатково:
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 6 Тема: Обчислення рангу матриці. Теорема Кронекера - Капеллі
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ.
- •Іi Завдання додому
- •Практичне заняття № 7
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 8
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 9
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 10
- •Хід заняття
- •І. Актуалізація опорних знань студентів
- •Іі. Розв’язування вправ
- •Ііі Підведення підсумку заняття іv. Завдання додому
- •Практичне заняття № 11
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 12
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 13
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •II Завдання додому
- •Ііі. Підведення підсумків заняття іv. Завдання додому
- •Іі Доповнення до лекції “Частинні похідні вищого порядку”
- •Іiі Розв’язування вправ
- •Іv Завдання додому
- •Практичне заняття № 16
- •Хід заняття і. Розв`язування вправ
- •Практичне заняття № 17
- •Хід заняття
- •І Актуалізація опорних знань (фронтальне опитування).
- •Іі Розв’язування вправ.
- •Ііі Підведення підсумків заняття
- •IV Завдання додому
- •Практичне заняття № 18
- •Хід заняття
- •Правило позначення через “u” I “dv”
- •І Розв’язування вправ.
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 19
- •Хід заняття
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ
- •Iі. Завдання додому
- •Практичне заняття № 21
- •Хід заняття і Розв’язування вправ
- •Іi Завдання додому
- •Практичне заняття № 22
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ
- •Iі. Завдання додому
- •Іiі Завдання додому
- •Іі Розв’язування вправ
- •Ііi Завдання додому
- •Іiі Завдання додому
- •Практичне заняття № 30
- •Хід заняття
- •І Розв’язування прав.
- •Iі Завдання додому
- •Задачі економічного змісту
Ііі. Підведення підсумків заняття іv. Завдання додому
На скільки збільшиться площа круга радіуса 10см. при подовженні радіуса на 1мм. Обчислити точне і наближене значення. Знайти погрішність наближеного розрахунку.
Відповідь:
точне значення
наближене значення
абсолютна похибка
відносна похибка
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 15
Тема: Знаходження частинних похідних функцій багатьох змінних
Мета: сформувати вміння та навики знаходження частинних похідних функцій багатьох змінних.
ХІД ЗАНЯТТЯ
Означення похідної функції двох змінних :
Правила знаходження частинних похідних
1) Якщо знаходиться похідна по змінній х, то у є постійною величиною.
2) Якщо знаходиться похідна по змінній у, то х є постійною величиною.
І Розв’язування вправ
1) Знайти область визначення функції z = ln (y2 – 4x + 8).
2) Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції:
а) в)
б) г)
3) Рівняння лінійної парної регресії, яке часто використовується в кореляційно-регресійному аналізі економічних процесів, має вигляд . Коефіцієнти а і b знаходять за методом найменших квадратів: їх визначення з умови мінімальності функції двох змінних S (a,b) – суми квадратів відхилень фактичних значень у і від теоретичних
S (a,b) = ,
тобто
; ,
де n – обсяг вибірки даних.
Нехай у = (3, 5, 8, 11); х = (1, 2, 3, 4…)
Знайти рівняння лінійної парної регресії. Відзначимо, що для економетричних досліджень вибірка (n) повинна бути значно більша.
Відповідь: .
Іі Доповнення до лекції “Частинні похідні вищого порядку”
Z=f (х; у), (х; у)
та існують для даної функції.
похідні ІІ порядку
; - мішані частинні похідні ІІ порядку
Для функції двох змінних f (х; у) існують чотири похідні другого порядку; вісім похідних третього порядку...
Друга символіка похідних:
Якщо мішані похідні вищого порядку неперервні, то результат не залежить від порядку диференціювання:
,
Іiі Розв’язування вправ
Знайти для функції
Іv Завдання додому
Знайти область визначення функції:
1)
2)
3)
Знайти частинні похідні першого порядку функції:
4) ;
5) ;
6)
7)Знайти : ;
8) Знайти :
9) Знайти :
Відповіді:
частина площини всередині круга
– півплощина, яка знаходиться вище бісектриси у = х
Півплощина х 0
,
,
,
Практичне заняття № 16
Тема: Похідна за напрямом. Градієнт
Мета: сформувати вміння та навички розв`язання вправ на похідну за напрямом та градієнт.
Хід заняття і. Розв`язування вправ
Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).
Означення. Градієнтом функції u (х; у; z) називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u.
g rad u (х; у; z) =
Напрям градієнта в кожній точці поля збігається з напрямом нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.
u =c
grad u
Похідна в напрямі градієнта має найбільше значення. При цьому поле в напрямі градієнта зростає з максимальною швидкістю, а у напрямі, протилежному до напряму градієнта, найшвидше спадає.
Максимальну швидкість зміни поля можна обчислити за формулою:
max =
u= grad u
Властивості градієнта:
1) grad (u+v)= grad u + grad v
2) grad (c ) = grad u
3) grad ( )= u grad v +v grad u
4) grad
Приклад: 1. Знайти grad u в точці М (-1; 2; -2), якщо u =
1. Знайти найбільшу швидкість зростання поля.
2. В якому напрямі функція u спадає найшвидше?
Приклад: 2. Знайти градієнт функції в довільній точці
Приклад: 3. Знайти похідну функції в точці за напрямом вектора