Задача №2

Задание. Дана таблица значений функции . Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений и

1) линейную функцию ;

2) квадратичную функцию .

X	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
Y	0.31	0.82	1.29	1.85	2.51	3.02

Решение. 1) Аппроксимируем таблично заданную функцию линейной .

Составим систему для определения

Предварительно вычисляем , , , Следовательно,

Решая эту систему, находим и : , .

Искомый многочлен .

Решение. 2) Аппроксимируем таблично заданную функцию квадратичной функцией .

Составим систему для определения

Предварительно вычисляем

,

,

,

,

, ,

Получим систему уравнений вида

Решая эту систему, находим , и : , , .

Искомый многочлен

Задача №3

Задание. Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.001. Систему предварительно преобразовать к виду, удобному для итераций.

Решение. Приведем эту систему уравнений к виду

В качестве начального приближения возьмем систему чисел

; ; ; .

Дальнейшие вычисления располагаем в таблице:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2.15 2.9719 2.3555 3.5017 3.5511 3.5637 3.5678 3.5700 3.5709 3.5712 3.5713	-0.83 -1.0755 -1.0721 -1.0106 -0.9277 -0.9563 -0.9566 -0.9575 -0.9573 -0.9571 -0.9570	1.16 1.5093 1.5075 1.5015 1.4944 1.4834 1.4890 1.4889 1.4890 1.4889 1.4890	0.44 -0.4326 -0.7317 -0.8111 -0.8321 -0.8298 -0.8332 -0.8356 -0.8362 -0.8364 -0.8364

Сходимость в тысячных долях имеет место уже на 10-м шаге.

Ответ: ; ; ; .

Задача №4

Задание. Отделить корни и найти приближенное решение заданного уравнения с точностью методом Ньютона (1) и методом итераций (2).

1) ; 2) .

Решение. 1) Обозначим . Найдем производную данной функции .

Составим таблицу знаков функции:

		-1	0
	-	-	+	+

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Уточним этот корень методом касательных. Так как , и , то за начальное приближение принимаем .

Для вычислений применяем формулу Ньютона

Для вычислений используем таблицу:

0 1 2	-1 -0.949 -0.9464	-0.2 -0.0093 -0.0004	3.9 3.5814 3.5657	-0.051 -0.0026 -0.00001

Ответ: .

2) Отделяем корни аналитически. Находим .

Составим таблицу знаков функции:

		-1	0
	-	-	+	+

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Для уточнения его методом итераций приведем уравнение к виду . При этом должно выполняться условие для . Функцию будем искать из соотношения , считая, что , где число имеет тот же знак, что и в промежутке . Находим .

Так как , то можно взять . Тогда

Пусть , тогда . Вычисления располагаем в таблице

0 1 2 3 4 5	0 -0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 0.3796	0 0.09 0.1364 0.1433 0.1440	0 -0.027 -0.0504 -0.0542 -0.0546	-0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 -0.3796

Ответ: .