- •1. Типы кривых второго порядка
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Эллипс
- •1.3. Гипербола
- •1.4. Парабола
- •2. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования координат
- •2.1. Пятичленное уравнение кривой второго порядка
- •2.2. Полное уравнение кривой второго порядка
- •3. Примеры выполнения заданий типового расчета
- •4. Варианты типового расчета «Кривые второго порядка»
- •644046, Г. Омск, пр. Маркса, 35
1.4. Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Пусть фокус имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид . Тогда уравнение параболы запишется в виде:
|
(9) |
Данное уравнение называется каноническим уравнением параболы. Ось абсцисс будет являться осью симметрии параболы, заданной уравнением (9). При все точки такой параболы располагаются в правой полуплоскости (рис. 5), а при – в правой. |
Рис. 5 |
Если же мы поместим фокус на оси ординат, т.е. он будет иметь координаты , а уравнение директрисы имеет вид , то канонической уравнение параболы выглядит так:
|
(10) |
Для параболы, заданной уравнением (10), осью симметрии является ось ординат. При все точки такой параболы располагаются в верхней полуплоскости, а при – в нижней. |
Р ис. 6 |
2. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования координат
2.1. Пятичленное уравнение кривой второго порядка
Вернемся к общему уравнению кривой второго порядка (1). Предположим для начала, что коэффициент уравнения B равен нулю, т.е. в уравнении отсутствует смешанное произведение x и y. Итак, уравнение является пятичленным:
, |
(11) |
Рассмотрим следующие случаи уравнения (11):
1. Пусть ; тогда уравнение определяет эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку). Если , то получим окружность.
2. Пусть ; тогда мы имеем дело с гиперболой, вырожденный случай которой представляет собой пару пересекающихся прямых (если левая часть уравнения может быть представлена в виде произведения двух линейных сомножителей).
3. Пусть , но ; тогда уравнение описывает параболу, которая может вырождаться в пару пересекающихся прямых, если левая часть уравнения не содержит одной из двух переменных x или y.
Для установления вида кривой и ее расположения необходимо привести уравнение к каноническому виду, первоначально выделив полные квадраты по переменным и .
.
Обозначим , , . Получим
, |
(12) |
Остается только перенести в правую сторону равенства (12) и, разделив обе части на , получить каноническое уравнение кривой в новой декартовой системе координат, полученной из старой параллельным переносом начала координат в точку .
2.2. Полное уравнение кривой второго порядка
Теперь рассмотрим уравнение кривой второго порядка, в котором коэффициент .
В этом случае необходимо применить преобразование поворота осей координат по формулам:
|
(13) |
При этом угол подбирается таким образом, чтобы уравнение стало пятичленным, т.е. не содержащим произведения . Дальнейшие преобразования аналогичны приведенным выше преобразованиям для пятичленного уравнения.