Пример. Перенос тепла между двумя телами за счет теплопроводности.

Рис.2.

Считаем, что перегородка между телами, через которую осуществляется процесс переноса, замедляет релаксационный процесс настолько, что в каждый момент времени в подсистемах 1 и 2 реализуется равновесное термодинамическое состояние. Первый закон термодинамики

(1)

используем для системы рис. 2 при dv = 0 и dN = 0 . В таком случае dQ = dU , поэтому говорим о теплопроводности (переноса тепла). Два изменяющихся экстенсивных параметра в данном случае U₁ и U₂ . Общее для 1-го и 2-го резервуаров значение равновесной температуры обозначим T_p . Из формулы (1) и определения обобщенных сил, видим, что переменным U₁ и U₂ соответствуют термодинамически сопряженные интенсивные величины 1/T₁ и 1/T₂ . Термодинамически сопряженными называют пару термодинамических параметров, образующих выражение вида Ada в соотношениях типа (1). Из принципов Онзагера следует, что

(2)

(3)

В данном случае dU_j/dt – потоки J_j , а термодинамически сопряженные (см. (1)) величины (интенсивные переменные) являются силами (X_1,2 = (1/T_1,2 – 1/T_p). Обратим внимание, что движущей силой теплопроводности является (1/T) а не обычно (эмпирически) используемая разность температур T . Это фундаментальный вывод теории Онзагера, имеющий отношение и к другим движущим силам процессов переноса.

Здесь L симметричная и положительно определенная матрица L_ij = L_ji . Два резервуара образуют изолированную систему. Поэтому, по закону сохранения энергии любая потеря энергии телом 1 должна в точности компенсироваться увеличением энергии тела 2 , т.е. U₁ + U₂ = const и d(U₁ + U₂)/dt = 0 . Следовательно, сумма правых частей уравнений (2) и (3) должна быть всегда равна нулю при любых T₁ и T₂ . Так может быть только в том случае, если L₁₁ = –L₂₁ и L₂₂ = –L₁₂ . Учитывая, что L₁₂ = L₂₁ – (соотношение симметрии), получаем L₁₁ = –L₂₁ = –L₁₂ = L₂₂ = L , где L – некоторая неотрицательная величина (это следует из условия > 0 или из теорем линейной алгебры, см. (4) выше).

Теперь уравнение (2) можно переписать так

(4)

где последнее равенство – приближенное. Оно выполняется при малых отклонениях от равновесия. Уравнение (4) означает, что тепло в среднем переходит от более нагретого тела к менее нагретому, причем скорость переноса тепловой энергии пропорциональна разности обратных температур, или приближенно – разности (следите за индексами) температур. Последнее утверждение известно как закон остывания Ньютона, на термодинамическом уровне описания представляет собой аналог закона теплопроводности Фурье.