Приближение Пуассона

Докажем, что если λ=np постоянное число, то . Поскольку λ=np, то , . Сократим дробь ,

получив произведение m сомножителей. Тогда

. Предел каждой из первых m дробей для любого k равен единице: , а предел последнего сомножителя: . При вычислении этого предела был заменён на эквивалентную бесконечно малую функцию . Оставшаяся дробь по условию теоремы константа. В итоге .

Упоминалось, что точность формулы, следующей из локальной теоремы Муавра  Лапласа зависит от того, насколько близки p и q друг к другу и к ½. Из доказанной сейчас теоремы следует другая приближённая формула, более точная в случае, когда p мало: . Эту формулу рекомендуется использовать для нахождения вероятностей редких событий.

Интегральная теорема Муавра  Лапласа

Поставим вопрос: какова вероятность того, что число успехов m в серии из n независимых испытаниях будет удовлетворять неравенству m₁≤m<m₂? Разумеется P(m₁≤m<m₂)=P_n(m₁)+P_n(m₁+1)+P_n(m₁+2)+P_n(m₁+3)+…+P_n(m₂3)+P_n(m₂2)+P_n(m₂1). Каждое из этих слагаемых может быть вычислено точно по формуле Бернулли, или приближённо (при больших n) с использованием локальной теоремы МуавраЛапласа или приближения Пуассона. Если слагаемых слишком много, то нахождение этой суммы может оказаться затруднительным. Из интегральной теоремы Муавра  Лапласа (формулировать саму теорему нет необходимости) следует, что при больших n, вероятность того, что число успехов m в серии из n независимых испытаниях будет удовлетворять неравенству m₁≤m<m₂ может быть приближённо найдена по формуле: . Здесь и в дальнейшем функцией Φ(x) обозначается такая первообразная функции φ(x), что . К сожалению эта первообразная не выражается через элементарные функции. Тем не менее, производная от функции Φ(x) известна (это функция φ(x)), и её можно исследовать обычным способом с построением графика. Эта функция возрастает на всей числовой оси, будет иметь точку перегиба при x=0 в которой Φ(0)=1/2, иметь две горизонтальные асимптоты: y=0 при x и y=1 при x+. График функции Φ(x) центрально симметричен относительно своей точки перегиба (см. рис. 9), что с арифметической точки зрения выражается равенством Φ(x)+Φ(x)=1.

Значение неэлементарной функции Φ(x) в произвольной точке можно получить, использовав популярную программу Microsoft Excel, в русскоязычной версии которой, встроена функция НОРМСТРАСП. Единственный аргумент этой функции совпадает с аргументом функции Φ(x). Например, для получения значения Φ(0,58) в произвольную ячейку Excel нужно ввести: =НОРМСТРАСП(0,58). Результат должен быть равен 0,71904.

При создании собственной прикладной программы, например на алгоритмическом языке Delphi, функции Excel окажутся недоступными. Поэтому нужно самостоятельно описать процедуру, вычисляющую значение функции Φ(x). Для этого удобно представить Φ(x) в виде ряда: . Ряд получился знакочередующимся, а это по соответствующей теореме обеспечивает уверенность в том, что точность расчёта будет меньше первого отброшенного члена. Поэтому для приближённых расчётов бесконечную сумму нужно заменить конечной, прерывая вычисления, если очередное оказывается меньше требуемой точности.

Степень точности приближённой формулы, следующей из интегральной теоремы Муавра  Лапласа ниже, чем у двух предыдущих. Аналогично формуле, следующей из локальной теоремы Муавра  Лапласа, точность зависит от n (чем n больше, тем точнее) и от вероятностей p и q (чем эти вероятности ближе друг к другу и к ½, тем точнее). Как поступать, если p мало? К сожалению, приближение Пуассона не имеет интегральной версии. В такой ситуации исследователя ждёт неприятный выбор: либо ничего не сосчитать (или считать недопустимо долго, что иногда то же самое, что не сосчитать), либо сосчитать с низкой степенью точности.

Рис. 9. График функции y=Φ(x).