Последовательность независимых испытаний с двумя исходами

Рассмотрим эксперимент, заключающийся в подбрасывании несимметричной монеты. У несимметричной монеты (в отличие от симметричной) вероятности появления герба и решётки не обязательно равны. Обозначим вероятность выпадения герба p, а решётки q. Поскольку эти события несовместны, и монета обязательно упадёт либо на герб, либо на решётку, то справедливо равенство p+q=1  q=1p. С точки зрения здравого смысла, рассматриваемые события независимые, то есть результат каждого подбрасывания монеты никак не зависит от результатов других подбрасываний в любых комбинациях. Выводы, полученные в этом пункте, окажутся справедливыми и для других экспериментов с двумя исходами, характеризующимися неизменностью вероятностей событий и взаимной независимостью испытаний. Исторически сложилось, что подобная задача родилась при составлении математической модели азартной игры. Это привело к появлению специфической терминологии. Событие, вероятность которого равна p называется «успехом», а противоположное ему событие «неудачей».

Обычно задача ставится так: «какова вероятность того, что произойдёт ровно m успехов в серии из n независимых испытаний?» Эту величину обозначают P_n(m). Для решения этой проблемы ответим на пару вопросов:

1. Сколько всего существует элементарных событий, которые соответствуют появлению m успехов в n испытаниях?

На этот вопрос отвечает раздел математики, называемый «комбинаторика». Доказано, что количество способов выбрать m элементов из n без учёта порядка выбора (это как раз нужная ситуация: выбираются номера испытаний, в которых будут зафиксированы успехи; при этом порядок выбора не важен) равно числу сочетаний, которое обозначается , и может быть найдено по формуле: .

2. Какова вероятность каждого из таких элементарных событий?

Поскольку успехов должно быть m (вероятность появления каждого равна p), а число испытаний n, то число неудач должно быть равно (nm), при этом вероятность неудачи известна и равна q. По правилу произведения для взаимно независимых событий получим произведение m сомножителей, равных p и (nm) сомножителей, равных q, то есть: p^mq^nm.

Теперь искомую вероятность P_n(m) найдём по аксиоме сложения, складывая вероятности интересующих элементарных событий. Все слагаемые будут равны друг другу и равны p^mq^nm, а число слагаемых будет равно . Поэтому . Выведенная формула называется «формулой Бернулли» (не путайте с уже упоминавшейся теоремой Бернулли).

Локальная теорема Муавра  Лапласа

Формула Бернулли, выведенная в предыдущем пункте, может оказаться практически бесполезной при значительных n. Проблема в том, что для нахождения числа сочетаний потребуется вычисление факториалов больших чисел, что затруднительно. Из локальной теоремы Муавра  Лапласа (формулировать саму теорему нет необходимости) следует, что при больших n, вероятность иметь ровно m успехов в серии из n независимых испытаний может быть приближённо найдена по формуле: . Степень точности конечно зависит от n (чем n больше, тем точнее, а при маленьких n вполне можно пользоваться и точной формулой Бернулли) и от вероятностей p и q (чем эти вероятности ближе друг к другу и к ½, тем точнее). Для удобства работы вводится функция и тогда . Функцию φ(x) можно вычислить на любом инженерном микрокалькуляторе. График функции φ(x) показан на рисунке 8. Функция четная, положительная, имеет при x = 0 максимум, совпадающий с наибольшим значением. Оно равно . График имеет две точки перегиба при x =  1 и x = 1. Значение функции в точках перегиба равно . Горизонтальная ось является асимптотой графика функции φ(x). Интересно, что (это является следствием известного интеграла ЭйлераПуассона).

Рис. 8. График функции y=φ(x).