- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
Позначимо знаменник цільової функції через . Природно, тут передбачається, що в області допустимих розв’язків . Це означає, що скрізь в області допустимих розв’язків знаменник не змінює знак. Тому, не обмежуючи області застосування, припустимо, що , тобто знаменник додатній. Якщо виявиться, що знаменник від’ємний , то, помноживши чисельник і знаменник на (-1), знову одержимо .
Таке позначення знаменника означає, що у задачі зявиться нове обмеження
, (4)
або
(5)
Цільова функція тепер має вид
(6)
Всі обмеження (1) помножимо на та одержимо
(7)
Введемо нові змінні
(8)
які будуть мати той жен знак, що й xj, тому що . Тоді в нових змінних задача (1)-(3) записується у виді:
(9)
, (10)
(11)
(12)
Нагадоємо, що (11) – це нове обмеження, що з’явилося внаслідок підстановки.
У нових змінних tj задача (9)-(12) уже є задачею лінійного програмування. Звернемо увагу на те, що хоча в початковому вигляді (1) задача записана в канонічному вигляді, це ніяк не обмежує області застосування підстановки, а просто означає, що перед підстановкою (4) систему треба приготувати до розв’язання, тобто вести додаткові змінні й, якщо потрібно, штучні, як того вимагає стандартна схема застосування симплексного методу.
3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
Розв’янання задачі дробово-лінійного програмування проілюструємо на конкретному прикладі.
Приклад 1.
Для виробництва двох виробів А і В підприємство використовує три типи технологічного обладнання. Кожний з виробів повинен пройти обробку на даному типі обладнання. Час обробки кожного з виробів, витрати, пов’язані з виробництвом одного виробу, наведено у таблиці. Обладнання 1-го та 3-го типів підприємство може використовувати не менше 48 і 6 годин відповідно, а обладнання 2-го типу не більше 50 годин.
Тип обладнання |
Витрати часу на обробку одного виробу, год. |
|
А |
В |
|
1 |
12 |
4 |
2 |
10 |
5 |
3 |
1 |
1 |
Витрати на виробництво одного виробу, тис. грн.. |
1 |
2 |
Визначити обсяг виробництва продукції за умови найменшої середньої собівартості одного виробу.