2.3.3. Розподіл Максвелла–Больцмана

У потенціальному полі координати і швидкості молекул газу незалежні, отже, незалежними є й обидва розподіли – Максвелла та Больцмана. Водночас їх можна об’єднати в один розподіл Максвелла–Больцмана, відповідно до якого кількість молекул, компоненти швидкості яких містяться у проміжках v_x, v_x+dv_x; v_y, v_y+dv_y; v_z, v_z+dv_z, а координати, відповідно, – у проміжках x, x+dx; y, y+dy; z, z+dz,

, (2.32)

де – повна енергія частинки; .

Якщо у (2.32) зробити перетворення і перейти до змінних Е_к і Е_п, то

. (2.33)

Тут

(2.34)

– це функція розподілу Максвелла–Больцмана.

2.3.4. Квантові аспекти розподілів. Розподіли Бозе–Айнштайна і Фермі–Дірака

Системи багатьох частинок, для яких застосовні розподіли Максвелла і Больцмана, складаються з частинок, які можна розрізняти за певними ознаками. Якщо ж система складається з однакових нерозрізнюваних частинок, то і їхні статистичні розподіли будуть іншими. З погляду квантової механіки стан мікрочастинки визначений певним набором квантових чисел. Кожному набору квантових чисел відповідає цілком певне значення енергії. Отже, розподіл таких частинок за енергіями зумовлений їхнім розподілом за квантовими станами. Є два квантові статистичні розподіли – Бозе–Айнштайна і Фермі–Дірака. Ці розподіли описують стан систем мікрочастинок, кожна з яких має нульовий або цілий спін, чи напівцілий. Частинки, що мають цілий спін ферміони (це електрони, протони, нейтрони та ін.), а ті, що мають нульовий, – бозонами (це фотони, фонони, мезони та ін.). Різниця між бозе- і фермі-газом полягає в тому, що кількість бозе-частинок з однаковою енергією може бути довільною, тоді як у фермі-газі однакову енергію можуть мати не більше двох частинок з протилежними спінами.

Середню кількість частинок з енергією у проміжку від Е до Е+dE обчислюють за відповідними функціями розподілу:

– функція розподілу Бозе–Айнштайна, (2.35)

– функція розподілу Фермі–Дірака. (2.36)

Зазначимо, що квантові розподіли безпосередньо пов’язані з класичним розподілом Максвелла–Больцмана. Справді, за умови ЕkТ експонен-ціальний доданок у (2.35) і (2.36) стає суттєво більшим від одиниці, якою можна знехтувати. За цих умов обидва квантові розподіли перетворюються у класичний розподіл Максвелла–Больцмана (2.34).

2.4. Середня кількість зіткнень молекул. Середня довжина вільного пробігу

Х

Рис. 21 Ілюстрація визначення площі ефективного

поперечного перерізу молекули

аотичний рух молекул газу супроводжується їхніми зіткненнями. Протягом проміжку часу t між двома послідовними зіткненнями молекула проходить певний відрізок шляху l, який називають довжиною вільного пробігу. Очевидно, що за великої кількості зіткнень, яких зазнає молекула, зна-чення l є різним, тому вводять поняття l середньої довжи-ни вільного пробігу.

Під час зіткнень від-стань між молекулами стає мінімальною. Цю відстань називають ефективним газокінетичним діаметром молекули d (рис. 2.6). Величина =d² – це ефективний поперечний переріз молекули. Зіткнення – це ймовірнісний процес. Обчислимо ймовірність зіткнення молекули з іншою з таких міркувань.

Нехай молекула А рухається вздовж Ох і потрапляє в об’єм dV=Sdx, у якому містяться інші молекули (умовно їх уважатимемо нерухомими).

Кількість молекул у цьому об’ємі

dN=n₀Sdx. (2.37 )

Сумарна площа перерізу цих молекул

dS=dN= n₀Sdx. (2.38)

Тоді ймовірність зіткнень молекули А з молекулою в об’ємі dV

dw=  n₀dx, (2.39)

у цьому разі w= n₀x. За умови x  l імовірність зіткнення дорівнює одиниці, отже,  n₀l=1, звідки

. (2.40)

Як бачимо, середня довжина вільного пробігу – це шлях, на якому ймовірність зіткнення дорівнює одиниці.

Обчислимо тепер середню кількість зіткнень молекули за одиницю часу. Очевидно, що за час t молекула проходить шлях

(2.41)

де – середня швидкість поступального руху молекули; Z – кількість зіткнень. Тоді за 1 с молекула зазнає зіткнень або, на підставі (2.41),

. (2.42)

Досі ми вважали, що рухається лише одна молекула, а інші – нерухомі. З урахуванням руху інших молекул отримаємо

(2.43 )

За допомогою рівняння стану газу р=nkT можна довести, що

або . (2.44)

Отже, з підвищенням тиску кількість зіткнень зростає, а довжина вільного пробігу зменшується.